Ch3_2求特征值的Jacobi法JKSY.ppt

3.2 Jacobi 方法 J-方法用于求实对称阵的全部特征值、特征向量. 对于实对称阵 A，必有正交阵 U，使 U T A U = D。 其中 D 是对角阵，其主对角线元 ?i 是 A 的特征值. 正交阵 U 的第 j 列是 A 的属于 ?i 的特征向量. 原理：Jacobi 方法用平面旋转对矩阵 A 做相似变换，化 A 为对角阵，进而求出特征值与特征向量. 平面旋转矩阵 对于 p ≠ q, 下面定义的 n 阶矩阵 Upq 是平面旋转矩阵。 容易验证 Upq 是正交阵。对于向量 x，Upq x 相当于把坐标轴 Oxp和 Oxq 于所在的平面内旋转角度 ? . 变换过程: 在保证相似条件下，使主对角线外元素趋于零！ 记 n 阶方阵 A = [aij], 对 A 做下面的变换： A1= UpqT AUpq, (3.12) A1 仍然是实对称阵，因为，UpqT =Upq-1 ，知 A1与 A 的特征值相同. 下面，以 4 阶矩阵为例，来计算 (3.12) 当 q ? p + 1时, ?特征向量的求解 设经过 N 次迭代，得到对角阵?，则做了下面的变换 一般， 记 ，则 U 为正交阵, 且 U 的列向量为 A 的特征向量。 * * U 与 A 的行、列分块记法 如下 比较元素, 有 由此，乘开各式，我们得到下面的关系式： 由此见到，矩阵 A1 的第 p 行、列与第 q 行、列中的元素发生了变化，其它行、列中的元素不变。 特别，取旋转角 ? 满足下面的条件： 则可以得到 (3.14) 这是因为， 为保证单值，限定 |? | ? ? / 4 。 ? Jacobi 算法 (1) 在 A 的非主对角线元素中，找到最大元 apq . (2) 用式(3.14)计算 tan2?，求 cos?, sin? 及矩阵Upq . (3) 用公式 (3.13) 求 A1 。 (4) 若 ,停止计算. 否则, 令 A = A1 , 重复执行 (1) ~ (4). 停止计算时，得特征值 ?i≈ bii , i = 1,2,…,n. ?特征向量的求解 设经过 N 次迭代，得到对角阵?，则做了下面的变换 一般， 记 ，则 U 为正交阵, 且 U 的列向量为 A 的特征向量。 注意到 正交阵 正交阵 再注意，相似阵的迹不变，我们得到下面的关系式： 由矩阵 A1，A 均是对称阵，得 再注意到正交变换不改变向量的内积，故有(2o) 定理3.1 设 A 是实对称阵，由 J-方法，第 k 次得到的矩阵记为 ，又记 则有 Jacobi 算法收敛性判别 使用式子 ，可以得到 进而有 ?旋转矩阵 Upq 的计算 sin ? 和 cos? 的计算公式 ： 例子 试用Jacobi 方法 计算矩阵的全部特征值和相应的特征向量. （误差为ε=10-3）