计算方法2011-4.ppt

第4章 插值与拟合 概述 插值与拟合的区别 第4章 插值与拟合 插值的概念 插值多项式的存在唯一性：由n+1个互异节点构造的n次插值多项式是唯一的。 插值多项式的唯一性 4.2 线性插值和二次插值 线性插值的两种形式 二次插值的两种表示形式 4.3 拉格朗日插值 构造插值基函数 Lagrange全程插值算法： 余项定理 4.4 均差与牛顿基本插值公式 4.4 均差与牛顿基本插值公式 均差的定义 均差的性质 1、f (x)关于点x0 ,x1 ,x2 ,…,xk的k阶均差是f (x)在这些点上的函数值的线性组合，即 2、对称性：均差与节点的排列次序无关 2. 均差表 例4.3 根据已知数据 构造均差表 均差表 4.4.2 牛顿基本插值公式 牛顿插值举例 均差表 牛顿基本插值公式 牛顿插值的算法 牛顿插值的算法 均差的存储设计 第4次作业 三、已知表格函数如下 X 1 3 4 5 2 6 Y 2 10 17 26 5 37 （1）构造均差表。 （2）写出相应的牛顿基本插值公式。 （3）求出当x=3.5时相应的y值。 4.5 差分与等距节点插值公式 2.差分表 差分表 3．差分与均差及导数的关系 等距节点插值公式 分段插值效果 4.7 样条函数插值 §4.8 最小二乘法与曲线拟合 内容回顾： 拉格朗日插值多项式 牛顿基本插值公式 等距节点的插值公式 插值的特点： 满足插值条件 φ(xi) =yi 插值的缺点： 次数n很高时,可能有龙格震荡现象。 yi 本身是测量值，不准确，即 yi不一定等于f (xi)，误差会带到插值函数中。 例题 已知实验数据如下，求形式简单的函数φ(x)，近似原来的函数关系y=f(x). 使用牛顿插值公式求出一个6次的多项式 =5-2*(x-1)+0.5*(x-1)*(x-2)-0.166667*(x-1)*(x-2)*(x-3)+0.125*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)-0.05*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)+0.013889*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6) 插值的效果 确定a0,a1,a2的原则 最理想的情况： 所有点都在曲线上，即将xi带入函数等于yi。 得到的方程组称为矛盾方程组 方程的个数大于未知数的个数。 方程无解 求最优近似解。 点离曲线尽可能地近。 即使 Ri= φ(xi) ? yi 尽可能地小。 “使 Ri= φ(xi) ? yi尽可能地小”有不同的准则 最小二乘法 历史： 勒让德 法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论 高斯: 最小二乘方法的产生可以追溯到1795年．那一年，德国伟大的数学家Gauss年仅18岁，就应用了最小二乘方法准确地预测谷神星(Ceres)的运行轨道．但迟至1809年才正式发表 . 必威体育精装版发展 广义最小二乘法 《广义最小二乘问题的理论和计算》科学出版社 华东师范大学 魏木生 2006年8月出版 广泛的应用 诸如统计、数学规划、经济、控制、最优化以及社会科学的各个领域 最小二乘法 最小二乘法 设有矛盾方程组 即有和式的形式： 记 最小二乘原理 求一组x1,x2,……xn 使 最小 根据多元函数极值的必要条件可知，在最小值点应满足 对xk求偏导。 已知矛盾方程组可以直接写出对应的正规方程组 例题 例4.7 用最小二乘法求矛盾方程组 的最优近似解。 例4.7 用最小二乘法求矛盾方程组 4.8.2 多项式拟合 检验经验公式的优劣 第5次作业 求与下列数据相拟合的多项式。 X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y 11 6 2 1 2 4 9 （1） 描点做出草图，确定曲线的趋势。 （2） 根据曲线的趋势，设出曲线的一般形式。 （3） 写出正规方程组。 （4） 求解，计算结果最少保留两位小数，最后写出求得的多项式结果。 作业结果 有些情况n越大越好 有些情况增大n效果不明显练习题2次和4次的效果 有些情况n越大拟合效果越差 有些情况n越大拟合效果越差 幂函数型、指数函数型经验公式 拟合函数是关于待定参数的非线性函数，根据最小二乘法原理建立的正规方程组将是关于待定参数的非线性方程组，这类数据拟合问题称为非线性最小二乘问题。其中有些简单情形可以转化为线性最小二乘问题求解。 幂函数经验公式举例 幂函数经验公式举例 幂函数经验公式举例 其它非多项式拟合也可以达到理想效果 需要选择类型，设置参数