0-2预备知识.ppt

§2 矢量场论复习 一、场的概念 二、标量场的梯度 三、矢量微分算子 梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率 ，刻画了标量场的空间分布特征 四、高斯定理与矢量场的散度 矢量族 高斯公式 求 五、斯托克斯公式与矢量场的旋度 矢量场的环量（环流） 五、斯托克斯公式与矢量场的旋度 矢量场的环量（环流） 矢量场的旋度 例子： 证明 证明 六、有关场的四个定理 关于散度旋度的两个定理 亥姆霍兹定理 唯一性定理 高斯 1795~1799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域的主要成就有： （1）关于静电学温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究；（2）利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯定理光学；（3）天文学和大地测量学中，如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等；（4）结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯定理误差曲线。此外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学的若干基本定理作出严格证明。 * 第零章第二节 矢量场论复习 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。 场用一个空间和时间 坐标的函数来描述： 稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关 变化场（时变场）：场函数与时间有关 已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变化关系（梯、散、旋度）。 已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数， 这是电动力学求解电磁场的主要方法。 在空间任意靠近两点函数 的全微分 在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度： 等值面： 常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。 既具有矢量性质，又具有微分性质 注意： 它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。 解： =？ 例1： 解： 例2： =？ 在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。 矢量场的通量 面元 的通量： 有限面积 的通量 意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具 有局域性质，不能反映空间一点的情况。 有源 无源 负源 闭合曲面的通量 矢量场的散度 缩小到一点 若空间各点处处 则称 为无源场。 该点有源 该点无源 该点为负源 例子： 求 证明 证： 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合 矢量 沿任一闭合曲线 的积分称为环量 意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域的性质。 表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合 斯托克斯公式（定理） 矢量 沿任一闭合曲线 的积分称为环量 定义 为矢量场的旋度，它在 法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点 ，则称 为无旋场。 当L无限小： 同理 证 = 0 证： 正定理：标量场的梯度必为无旋场， 即 逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。 即若 ，则 ， 称为无旋场 的标量 势函数。 2. 正定理: 矢量场的旋度必为无散场，即 逆定理: 无源场必可表示为某个矢量场的旋度。 即若 ，则 ， 称为无源场 的矢量势函数。 任意矢量场 [ ]均可分 解为无旋场 和无源场 之和。 即 可分解为 [ ] 。 又称为 的横场部分，可引入标势 ， 又称为 的纵场部分，可引入矢势 ， 定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及 矢量场在区域边界上的法线分量