圆锥曲线3-题型总结.doc

圆锥曲线题型总结 圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题： （1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题. （2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. （3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置； 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)； 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. （4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义. （5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用. （6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围. 1圆锥曲线中最值和范围问题 例1．（1）（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 例2（2009重庆卷文、理）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 例3（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C. D. 【答案】A 例4 （山东理科2011）.22.（本小题满分14分） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点. （Ⅰ）证明和均为定值; （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值； （Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由. 【解析】22．（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称， 所以因为在椭圆上，因此 ① 又因为所以②；由①、②得 此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知m，将其代入，得， 其中即 …………（*） 又 所以 因为点O到直线的距离为所以 ，又 整理得且符合（*）式， 此时 综上所述，结论成立。 （II）解法一： （1）当直线的斜率存在时，由（I）知 因此 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知 所以 所以，当且仅当时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二： 因为 所以 即当且仅当时等号成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得 证明：假设存在， 由（I）得 因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾， 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G. 例5 全国新课标卷2011（20）（本小题满分12分）