第九章 数学实验 插值法.ppt

概念与结论 1. 插值问题与插值函数 由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, ... , xn 处的值 y0 , y1 , … , yn ,构造一个简单函数 ?(x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式 y= f(x) ? ?(x) 使 ?(x0)=y0 , ?(x1)=y1 , ?, ?(xn)=yn , (1) 这类问题称为插值问题。 f(x) 称为被插值函数，?(x) 称为插值函数， x0 ,x1, ...,xn称为插值节点,(1)式称为插值条件。 概念与结论 常用的插值函数是多项式函数。 当n=1时是称为线性插值， n=2时称为Simpson插值或抛物线插值。 概念与结论 2．插值定理 假设x0 ,x1,…,xn 是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节点的值f(xk)(k=0,1,…,n)是给定的，那么存在唯一的 n 次多项式pn(x)满足 pn(xk)=f(xk), k=0,1,…,n 概念与结论 3.插值的截断误差 设?n(x)是过点x0 ，x1 ，x2 ，…xn的 n 次插值多项式， f(n+1)(x)在（a，b）上存在，其中[a，b]是包含点x0 ，x1 ，x2 ，…,xn的任一区间，则对任意给定的x?[a，b]，总存在一点??（a，b）（依赖于x）使 其中?n+1(x)=(x –x0) (x - x1)…(x-xn ) ，f(n+1)(?) 是f(x)的n+1阶微商在 ? 的值。 概念与结论 插值法有很多种,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermite插值,分段插值和样条插值等。这里只给出Lagrange插值、Newton插值 、分段线性插值和样条插值的构造过程及程序。 1．Lagrange插值 Lagrange插值是将待求的n次多项式插值函数Pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定插值基函数，从而求出插值多项式。 Lagrange插值是多项式插值，它成功地用构造插值基函数的方法解决了求多项式插值函数出现的病态问题。 1．Lagrange插值 (1) Lagrange多项式的构造 考虑多项式： 1．Lagrange插值 记： 则 qk(x)可以表示为： 此时，qk(x)满足： 1．Lagrange插值 构造多项式： 在 xi 处，上面多项式的值恰好是 yi 可以得出Lagrange插值多项式 1．Lagrange插值 （2） 用Mathematic编程实现由{1, 8}, {2, 1}, {4, 5}三个点构造的Lagrange插值多项式 Clear[t,n,g,f,s,d] t = Table[{{1, 8}, {2, 1}, {4, 5}}]; n=Length[t]; g=0; 1．Lagrange插值 For [i = 1, i = n, i++ , Qk=1; For[j = 1, j = n, j++ , If[j != i,Qk=Qk*(x-t[[j,1]])/(t[[i,1]]- t[[j,1]])]]Print[Qk]; g = g + Qk*t[[i,2]];] g f = Simplify[%] 1．Lagrange插值 （3） Lagrange插值多项式误差 求t = Table[{x, Cos[x]}, {x, 0, Pi*2, Pi*2/6}]; 所构造的Lagrange插值多项式，并画图比较插值多项式与Cos(x)的误差。 Clear[t,n,g,f,s,d] t = Table[{x, Cos[x]}, {x, 0, Pi*2, Pi*2/6}]; n=Length[t]; g=0; 1．Lagrange插值 s = Plot[g, {x, 0, Pi*2}, PlotStyle - RGBColor[0, 1, 0]] d = ListPlot[t, PlotStyle - PointSize[0.04]]; MatrixForm[t] Plot[Cos[x], {x, 0, Pi*2}, PlotStyle - RGBColor[1, 0, 0]] Show[d, Plot[Cos[x], {x, 0, Pi*2}, PlotStyle - RGBColor[1, 0, 0]], s] 2. Newton插值 Newton插值是多项式插值的另一种表示形式，它在增加插值节点时具有灵活性，只要在原有的插值多项式中增加一项就