00年哈尔滨理工大学高等数学竞赛试题.doc

考试时间：120分钟 试卷总分100分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 评卷教师 题号 九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六 总分 得分 评卷教师 1. 求极限（本题满分5分） 2. 求极限（本题满分6分） 3. 设具有二阶连续导数，且，是曲线上点处的切线在轴的截距，求.（本题满分6分） 4. 设在二阶可导，且.求证：.（本题满分7分） 5. 已知，求的表达式. （本题满分6分） 6. 设，其中为连续函数，求，并讨论的连续性. （本题满分6分） 7. 计算.（本题满分6分） 8. 设连续可导，证明：. （本题满分6分） 9. 设非负函数在上连续，且单调上升，与直线及围成图形的面积为，与直线及围成图形的面积为. ⑴ 证明：存在唯一的,使得. ⑵ 取何值时两部分面积之和取最小值？（本题满分7分） 10. 求函数在点处沿直线 在平面上的投影直线方向的方向导数. （本题满分6分） 11. 已知，证明级数收敛. （本题满分6分） 12. 计算曲线积分，其中为连结点与点的线段之下方的任意路线，且该路线与线段所围图形的面积为1，是连续可导的函数. （本题满分6分） 13. 设可微，且. ⑴ 若存在，使，求； ⑵ 若，求，使. （本题满分7分） 14. 设在上有连续的二阶导数，，，且函数满足：，求在上的最小值. （本题满分7分） 15.已知当时，有，，，证明：.（本题满分7分） 16. 计算.其中为连续函数，为平面在第Ⅲ象限部分的上侧. （本题满分6分） 哈尔滨理工大学 2000年 高等数学竞赛试题 2000年 第 2 页 共 3 页 哈尔滨理工大学信息与计算科学系 系主任：计东海 第 3 页 共 3 页 装 订 线 班级： 学号： 姓名：