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圆锥曲线考题精选 研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。 典型例题 根据下列条件，求双曲线方程。 与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）； 与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。 分析： 法一：（1）双曲线的渐近线为 令x=-3，y=±4，因，故点（-3，）在射线（x≤0）及x轴负半轴之间， ∴ 双曲线焦点在x轴上 设双曲线方程为，（a0，b0） 解之得： ∴ 双曲线方程为 （2）设双曲线方程为（a0，b0） 则 解之得： ∴ 双曲线方程为 法二：（1）设双曲线方程为（λ≠0） ∴ ∴ ∴ 双曲线方程为 设双曲线方程为 ∴ 解之得：k=4 ∴ 双曲线方程为 评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ0时，焦点在x轴上；当λ0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为（a2+k0，b2-k0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。 例2、设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求的值。 解题思路分析： 当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。 法一：当∠PF2F1=900时，由得： ， ∴ 当∠F1PF2=900时，同理求得|PF1|=4，|PF2|=2 ∴ 法二：当∠PF2F1=900， ∴ ∴ P（） 又F2（，0） ∴ |PF2|= ∴ |PF1|=2a-|PF2|= 当∠F1PF2=900，由得： P（）。下略。 评注：由|PF1||PF2|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。 例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。 分析： 根据题意，从点P的轨迹着手 ∵ ||PM|-|PN||=2m ∴ 点P轨迹为双曲线，方程为（|m|1） ① 又y=±2x（x≠0） ② ①②联立得： 将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m 的取值范围。 根据双曲线有界性：|x|m，x2m2 ∴ 又0m21 ∴ 1-5m20 ∴ 且m≠0 ∴ 评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。 例4、已知x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线?同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线?方程。 分析： 选择适当的直线方程形式，把条件“?是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。 法一：当?斜率不存在时，x=-1满足； 当?斜率存在时，设?：y=kx+b ?与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1 ∴ ∴ b2=k2+1 ① 由得：(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0 当k≠±1且△0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0）， ∴ y0=kx0+b= ∵ M在⊙O上 ∴ x02+y02=1 ∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 ② 由①②得： 或 ∴ ?：或 法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1 当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足； 当y0≠0时， 代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 ∵ y02+x02=1 ∴ 可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0 由中点坐标公式及韦达定理得：∴ 即2x03-x02-2x0+1=0 解之得：x0=±1(舍)，x0= ∴ y0=。下略 评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。 例5、A、B是抛物线y2=2px（p0）上的两点，且OA⊥OB， 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； 求证：直线AB过定点； 求弦AB中点P的轨迹方程； 求△AOB面积的最小值； O在AB上的射影M轨迹方程。 分析： 设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0） （1） ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1 ∴ x1x2+y1y2=0 ∵ y12=2px1，y22=2px2 ∴ ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 （2）∵ y12=2px1，y22=2px2 ∴ （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) ∴