初中质数与合数.doc

初中数学竞赛辅导资料（3） 　　　　　　　质数　合数 一、内容提要 1 正整数的一种分类： 　 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。 　合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 根椐质数定义可知 质数只有1和本身两个正约数， 质数中只有一个偶数2 如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，　 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，　 3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 二、例题　 例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)。求这两个数 解：∵两个质数的和等于奇数 　　∴必有一个是2 所求的两个质数是2和a－2。 例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解：∵质数m只含两个正约数1和m, 又∵（－1）（－m）=m ∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m. 例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30 求适合条件的a,b,c的值 解：分解质因数：30＝2×3×5 　适合条件的值共有： 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。 例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。 解：（本题答案不是唯一的） 　设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5　　　 　那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数 即32，33，34，35就是所求的一组数。 本题可推广到n 个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2， N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合数。 三、练习 小于100的质数共___个，它们是__________________________________ 己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿ 己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿ 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿ 如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿ 如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿ 5,　两个质数x和y，己知　xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c它们的积等于1990. 那么　 7,　能整除311＋513的最小质数是＿＿ 8，己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。 　求M及＋的值 9，试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。 10，具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？ 11，求适合下列三个条件的最小整数： 大于1　②没有小于10的质因数　③不是质数 12，某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间， 那么这个质数是＿＿＿ 13，一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。 练习题参考答案 1.　25个　　　2.　2，9　　　3.　2，43　 4.　1，19；1，73或－1，－73 5　略　　　 6.　1900＝2×5×199　有6组 7.　2　　　 8.　略　 9.令N＝2×3×5×7＝210，所求合数为N＋2，N＋3，…… 10.??? 分母只含2和5的质因数 11.??? 11×11　　　 12.　37　　　　 13.　3 初中数学竞赛专题选讲 倍数　　约数 一、内容提要 1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7在有余数的除法中， 　被除数＝除数×商数＋余数　　若用字母表示可记作： 　A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2　　则23－2能被3整除。 二、例题　 例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32　。 　解：列表如下 正整数 正约数 个 数 计 正整数 正约数 个数计 正 整 数