YQJ_Ch4_2方程求根JkSY.ppt

4.2 非线性方程组的迭代解法 n 个方程, n 个变元的非线性方程组的一般形式 那么, 方程组(4.14)可以表示为向量形式 F(x) = 0. 多元函数的向量表示 二元函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处可微 定义 微积分定理：可微必可导。 定理4.10 设 x 是D的内点, D?Rn , 若?:D ?R1在 x 处可微, 则有 定理4.11 设 D?Rn , x是D的内点, F:D?Rn , 则 (1) F 在 x 处可微 ? F 的所有分量函数 f i 在 x 处可微. (2) 若F 在 x 处可微, 则有等式: 定理4.12 设D?Rn , x是D的内点, F: D?Rn , 则 (1) 若F 在 x 处的 Jacobi 矩阵存在且连续, 则 F 在 x 处可微, (此时, 称 F 在 x 处连续可微).且有(**)式成立. (2) 若F 在 x 处可微, 则 F 在 x 处连续. (3) 若D为开区域, D0(? D)是开凸域, 则对 ?x?D0, x + h?D0, 成立等式 其中, 0?i 1, i=1,2,…, n, 定义 设向量序列{xk} 收敛于 x*, ek = x* ? xk ?0, (k = 0,1,2,…) , 若存在常数 c 0 和 r ?1 , 使得 4.2.2 向量值函数的简单迭代法 求方程组的解转化为求不动点 非线性方程组可表示为 F(x) ? 0, 其中 F: D?Rn ?Rn 是向量值函数, 如同单个方程的情形一样, 把 F(x) = 0 改写为等价形式: x ? G(x), 其中, G: D?Rn ?Rn是向量值函数. 若有 x*?D, 使 x* ? G(x*), 则称 x* 是 G(x) 的不动点. x* ? G(x*) ? F(x*) ? 0 . 向量值函数的不动点迭代 选取初始向量 x(0)?D, 构成迭代 x(k+1) ? G(x(k)), k = 0,1,2… (4.20) 定理4.13 (压缩映像原理)设n维区域 D?Rn, 闭区域 D0? D, 向量值函数 G: D ?Rn 在 D0 上满足下二个条件: (i) G(D0) ? D0, 即, 区域像是压缩的; (ii) G 在 D0 上是压缩映射, 即, 存在常数 L?(0,1), 使对 ? x, y ?D0, 有 ||G(x) ? G(y)|| ? L ||x ? y||. 那么, 有下面的结论: (1) 对 ? x(0) ?D0, 迭代 x(k+1) ? G(x(k)) 产生的序列 { x(k) }?D0 且收敛于 x ? G(x) 在 D0 内的唯一解 x*. (2) 成立误差估计式 证明方法与一元函数迭代定理完全相同. 定理4.14 (局部收敛定理) 设区域 D?Rn, x*是D的内点, 函数G: D ?Rn 在 x*处可微, 若 G?(x*) 的谱半径 ? (G?(x*)) 1 , 则存在开球 使对任意的初值 x(0) ?D0, 迭代 x(k+1) ? G(x(k)) 产生的序列 { x(k) }?D0 且 此序列收敛于 x*. 例6 简单迭代运行结果 x0=[1;1] y=FczJdddL4_6(x0) e1=||yk-xk||/||yk||= 1.0, y(1,1)=1.0; y(1,2)=1.0 e2=1.4211231648805731, y(2,1)=0.4605910968920121 y(2,2)=0.3454433226690091 e3=0.1193851847104545, y(3,1)=0.4114679229126574 y(3,2)=0.3463507782762485 e4= 0.0267695698220140, y(4,1)=0.4186674199193560 y(4,2)=0.3351432315465148 e5= 0.0108377718476785, y(5,1)=0.4141786462471491 y(5,2)=0.3377266342676094 e6= 0.0034121544617909, y(6,1)=0.4155967264716851 y(6,2)=0.3364871317702505 e7= 0.0013986178768427, y(7,1)=0.4150162772870907 y(7,2)=0.3369140687817221 e8= 0.0005114920540308, y(8,1)=0