赛区赛非数学类试卷及答案(最终版).doc

专业： 年级： 线 所在院校： 封 密 身份证号： 姓名： 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （非数学类，2009） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 总分 分 得 分 注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 得 分 评阅人 填空题（每小题5分，共20分）. （1）计算 =_____________，其中区域由直线与两坐标轴所围三角形区域. （2）设 是连续函数，满足 ，则=___________________. （3） 曲面 平行平面 的切平面方程是________________________. （4）设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且 ，则=____________________. 答案： ，， ，.  得 分 评阅人 二、（5分）求极限 ，其中 是给定的正整数. 解：原式 ………………….….…（2分） 其中大括号内的极限是 型未定式，由 法则，有 于是 原式= . ……………………………………..…………..…(5分) 得 分 评阅人 三、（15分）设函数 连续,，且 ,为常数，求 并讨论在处的连续性. 解：由题设，知 ，. …………….…………...…(2分) 令，得 ，……………………………………..……（5分） 从而 …………………………………….……(8分) 由导数定义有 ……………………………………….……(11分) 由于 ， 从而知 在 处连续. …………………………………………….……….(15分) 专业： 年级： 线 所在院校： 封 密 身份证号： 姓名： 得 分 评阅人 四、（15分）已知平面区域 ，为的正向边界，试证： （1） ； （2）. 证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算. 左边 ， ...…(4分) 右边 ，……..…（8分） 所以 . ……………………………(10分) 由于 ， …….…………………….…...(12分) . ……..…….…(15分) 证法二：（1）根据 公式，将曲线积分化为区域上的二重积分 ……………………………...… (4分) ………………………………(8分) 因为 关于 对称，所以 ，故 . ………………….…… (10分) (2) 由 . …….……….……(15分)  得 分 评阅人 五、（10分）已知 ， ，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知：与 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 是非齐次的一个特解.因此可以用下述两种解法 ………………………………………………………….…...……(6分) 解法一： 故此方程式 ………………….……..……..……(8分) 将 代入上式，得 ， 因此所求方程为 . ……………………………………… …(10分) 解法二：故 ，是所求方程的通解，……………………(8分) 由 ， ，消去 得所求方程为 . ……………