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2008-2009第一学期线性代数A(A卷)答案
2008－2009学年 第 1 学期
线性代数A（A）卷 参考答案及评分标准
适用： 三 院 专业 08 级学生
命题教师： 段复建
一 选择题(每小题3分，共9分)
1. C. 2. A 3. B
二、填空题（每小题4分，共20分）
3. 4. 2 5.
三、（10分）
解：
…………………………10分
四、（12分）
解：由有，即
，（*） …………………………6分
由可得可逆，(*)式两边同时左乘，得
，由于可逆， …………………………8分
所以. …………………………12分
五、（14分）
解：
（1）当时，即且时，方程组有有惟一解； (2) 当时，，故方程组无解. …………………………8分
（3）当时，
令，则通解为. …………………………14分
六、（12分）
解：
…………………………8分
故为一个极大线性无关组。 …………………………10分
，. …………………………12分
七、（15分）
（1） …………………………2分
（2）
，， …………………………8分
故二次型的秩为3. …………………………10分
（3）当时，， ；
当时，，；
当时，，.
将单位化得
从而得到正交矩阵 ………………14分
故作正交变换，将二次型化为标准形.……15分
八、（每小题5分，共10分）
1.解：由于是齐次线性方程组的一个基础解系，则
，，，故
从而是的解。同理可得，也是的解。
下面证明的相关性。
设存在一组常数使得，从而有
由的线性无关性知，
从而得，从而是线性无关的，故是的基础解系。 ………………………………5分
2.证明：由有，
，由于，
另一方面，由于
故 ………………………………10分
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