A1-第四章不定积分3-5.ppt

§3. 分部积分法 §3. 分部积分法 一般： 例题讨论 小结（一）： 小结（二）： 小结（三）： 可见，被积函数是不同类型函数的乘积， 例 8 ： §4. 有理函数的积分 一、有理函数的积分 性质： 真分式总可分解成若干个最简分式之和 —— 部分分式 之和。 ∴求有理函数积分的方法： (3)利用恒等变形求某些有理式的不定积分： 例3 ： (4) 利用被积函数自身特点。 被积函数的分母为二次质因式， 课外作业 二、 可化为有理函数的积分举例 一）三角函数有理式： 化为 u 的有理函数的积分。 —— 万能变换 例2： 二）简单无理函数的积分 还可利用恒等变形进行积分： 三、 抽象函数的积分 §5. 积分表的使用法 对不定积分的说明： 初等函数在其定义域上的原函数必存在； 认真复习 课外作业 补充题 1 补充题 1 答案 补充题 2 补充题 2 答案： 例： 解： (1- ) + 还可利用恒等变形进行积分： F(x) 是 f (x) 的原函数。 例1： 已知 f (x) 的一个原函数是 解： 是 f (x) 的一个原函数。 三、 抽象函数的积分 F(x) 是 f (x) 的原函数。 例1(2) 已知 f (x) 的一个原函数是 解： 例2： 解： - 则 f ( x ) 例3： 解： 原式 = 自学 ！！ 1）直接查得，注意表中的系数。 3）递推公式的使用。 注意三点： 2）适当变换，化为表中形式，回代。 1. 但这些原函数不都是初等函数。 以下初等函数的原函数不是初等函数： 例4： 解： 原式 = 例5： 解： 原式 = 例6： 例7： 解： 原式 常用分部积分法。 或为单独一个函数时， 例9： 已知 f (x)的原函数为 解： 对有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分，仍有规律可循。 有理函数：由两个多项式的商所表示的函数。 其中 m, n 都是正整数或零，系数 a i , b j 均为实数， R(x) 为多项式 (又称有理整函数) 为有理真分式 有理假分式 =多项式+真分式 a) 若 Q(x) 能分解成若干个单因式，即 例 A B 比较系数 b) 若 Q(x) 能分解若干个k重单因式，即 如： 比较系数： c) 若 Q(x) 含有二次质因式 如： 比较系数： d) 若 Q(x) 含有k次质因式 积分的求法见书 P.215 (1) 把真分式拆成部分分式之和。 (2) 化 假分式 = 多项式 + 真分式 例1 ： +x-x 例2： + x2 - x2 + x - x + x - x 若令 e x = u , x = ln u , 仍为有理式的积分。 特点 ∴ 分子 放微分号后 即与分母同次。 例4： 即有 d (x2 + x + 3) = (2x + 1) d x 且分子的次数比分母低一次 作分子 = 常数×分母的导数 + 常数 且 d (x2 + x + 3) = (2x + 1)dx 作分子 = 常数×分母的导数 + 常数 解： 从理论上讲， 任何有理函数的不定积分都存在。 有理函数的不定积分必定是有理函数、对数函数或反正切函数。 即任何有理函数的不定积分仍是初等函数。 习题 4 —4 1（1，2 , 10 , 12）， 4（2，21） 指由三角函数和常数经过有限次四则 如： 总可通过适当变换， 化成有理函数的积分。 运算所构成的函数。记成 例： 万能变换并不是最简捷的方法，万不得已而用之。 一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。 另外：若 总之解提要灵活 例1： 解： 分子分母同除 cos 2x : 原式 = 2 例3 ： 例4： ( 分子分母同乘 1 - sin x ) 若为 1. 常利用根式代换，令 2. ( l 为 m , n 的最小公倍数 ) 例： 3. 配方化为形如： 的不定积分。 再作三角代换或倒变换即可。 4. 例 例： 解： = ？ * = ? 目前还无法计算 特点： 被积函数是两个不同类型的函数的乘积。 从函数乘积的导数公式入手 设 u (x), v (x) 有连续导数，则 两边取积分： —— 分部积分公式 例： 要求： 如何选择 v ? 例： = ? (1) 无论怎么选 v’ , v 都要容易求出。 (3) v’(x) 的 e x ; 次选： sin x , cos x ； 再次之： 首选： x 等幂函数； 不选： ln x . 例1： 可降低x m 的幂次数。 例2： 例3： 可使原来含超越函数的被积函数化为代数函数的积分。 练习题 例4： 再生法 例5： 由再生法： 例6： + a 2- a 2 由再生法： 本例还可用前面讲过的三角代换 令 x = a tan t 同理： 经过几次分部积分后，又出现