多元函数微分学学习指导.doc

微 积 分 下 册 第一章 多元函数微分学 一、学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解空间坐标系的有关概念，掌握空间两点之间的距离公式. 了解平面区域，区域的边界，点的邻域，开区域与闭区域等概念. 2．了解二元函数的概念。掌握二元函数的定义与表示法. 3．了解二元函数的极限与连续性的概念. 4．理解多元函数的偏导数与全微分的概念。熟练掌握偏导数与全微分的求法和复合函数的偏导数的求法.了解全微分存在的条件和全微分在近似计算中的应用. 5．掌握由一个方程确定的隐函数的偏导数的求法（例如由F（x, y, x）= 0确定的隐函 数z = f(x, y), 求其偏导数）. 　 6. 理解二元函数极值与条件极值的概念.掌握二元函数极值存在的必要条件与充分条件，掌握求二元函数极值的方法；掌握利用拉格朗日乘数法求解简单应用题的条件极值. 重点 二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法. 难点 二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系，多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法. （二）内容提要 8.1 空间解析几何的简介 空间直角坐标系，空间两点间的距离，空间曲面与方程。 平面上的区域，区域的边界，点的邻域，开区域与闭区域等概念。 8.2 多元函数的概念 多元函数的定义，二元函数的定义域与几何意义，二元函数的极限与连续。 8.3 偏导数与全微分 偏导数的定义与计算方法，全微分的定义与计算方法，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用。 8.4 多元复合函数微分法与隐函数微分法 8.5 高阶偏导数的定义与求法 8.6元函数的极值与最值 二元函数极值的定义，极值的必要条件与充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法。多元函数最值的概念与求法. 二、主要解题方法 求二元函数定义域的方法 例1 求下列函数的定义域并画出定义域的图形. （1）； （2） . 解 （1）要使函数有意义，需满足条件 即 . 因此定义域为与围成的部分，包括曲线. （2）要使函数有意义，需满足条件 即 定义域如图所示 另外，求函数的定义域时，也 可把看成两个函数与的乘积，的定义域是，即 ， 的定义域是 因此函数的定义域是与的定义域的公共部分，即。 小结 多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同。即先考虑三种情况：分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是几个函数的代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分. 求多元函数的偏导数方法 例2 设，求 ，. 解一 令 ，，原式可写成 由复合函数求导法则，得，即 = = =. 解二 利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数，. 即 = ， =. 例3 设，求，. 解 此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则. 令 , , 则 ，于是 =+=+[] =+[] =+（） ==[]=[] =（） 例4 已知，求 . 解 如果先求出偏导函数，再将，代入求比较麻烦，但是若先把函数中的固定在，则有=3.于是=，=3. 小结 求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量，可直接对另一个变量求偏导，但求带有抽象函数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的求导公式.其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系. 3．求隐函数的导数或偏导数的方法 例5 设 ，求，. 解一 用公式法，设= 则 ，，， ===； ===. 解二 方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求 ，时，将看作，的函数. 方程两端对求偏导数，得 即 = 方程两端对求偏导数，得 即 = 解三 利用全微分求，. 方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则 = 因此 =，=. 小结 用公式法求隐函数的偏导数时，将看成是三个自变量，，的函数，即，，处于同等地位.方程两边对求偏导数时，，是自变量，是，的函数，它们的地位是不同的. 求函数的极值与最值的方法 例8 求函数的极值. 解 （1）求驻点 由 得两个驻点 ，. （2）求的二阶偏导数 ， （3）讨论驻点是否为极值点 在处，有，，，，由极值的充分条件知 不是极值点，不是函数的极值； 在处，有