反证法例题.doc

反证法例题 ?α，b?β，若a，b为异面直线，则(B) A．a，b都与l相交 B．a，b至少有一条与l相交 C．a，b至多有一条与l相交 D．a，b都与l不相交 解析：若a，b都与l不相交，则a∥l，b∥l，∴a∥b，这与a，b为异面直线矛盾．∴a，b至少有一条与l相交．故选B. 　　33 　　3．用反证法证明“已知a＋b＝2，求证a＋b≤2”时的反设为______，得出的矛盾为______． 　　332333 　　解析：假设a＋b＞2，则a＞2－b，∴a＞(2－b)＝8－12b＋6b－b，又a＋b＝2，∴22 　　6b－12b＋6＜0，即6(b－1)＜0，由此得出矛盾． 　　2 　　答案：a＋b＞2 6(b－1)＜0 　　4．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是________________________________________________________________________． 　　解析：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定应是a，b，c 　　中都是奇数或至少有两个偶数． 　　答案：a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 　　(一)用反证法证明数学命题的一般步骤 　　(1)反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立； 　　1 　　(2)归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾； 　　(3)断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立． 　　（二）反证法得出的矛盾 　　反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面： (1)与已知条件矛盾； (2)与假设矛盾； 　　(3)与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾； (4)与简单的、显然的事实矛盾． 　　（三）注意事项 　　(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的． 　　(2)必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． 　　(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题． 　　使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如 　　1．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”． 　　2．适合用反证法证明的命题：(1)否定性命题；(2)唯一性命题；(3)至多、至少型命题；(4)明显成立的问题；(5)直接证明有困难的命题． 　　3．使用反证法证明问题时，准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的”结论词”与“反设词”列表如下： 　　2 　　4.常见的矛盾主要有：(1)与假设矛盾；(2)与公认的事实矛盾；(3)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾． 　　1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C) 　　①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论 A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③ 　　2．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.其中顺序正确的是(C) 　　A．①②③ B．①③② C．③①② D．③②① 　　解析：根据反证法的步骤，容易知道选C. 　　3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设________和________两类． 　　解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP＝∠CAP和BAP＞∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP BAP＞∠CAP 　　4．求证：如果ab0，那么ab(n∈N，且n1)． 　　nn 　　3 　　证明：假设na不大于nb，则n 　　a＝nb，或na＜n 　　b 当na＝n 　　b时，则有a＝b. 这与a＞b＞0相矛盾． 　　当na＜n 　　b时，则有a＜b，这也与a＞b相矛盾． 所以na