习题3和习题4.doc

习题三 解下列线性方程组： 1） ；2） ； 3） 。 解：1）解为： ； 2）解为： （为自由未知数）； 3）33/38、-1/2、-1/38、-21/38 。 2. 讨论，，取什么值时，下列方程组有解。 1） ；2） 。 解：1）由于系数行列式，所以当时，由克莱姆法则可知方程组有解。 当时，增广矩阵为，方程组无解；当时，增广矩阵为，方程组无解。 2）由于系数行列式，所以当且时，由克莱姆法则可知方程组有解。 当时，增广矩阵为，方程组无解。 当时，增广矩阵为。故当时方程组有解，当时方程组无解。 3. 证明方程组 有解的充分必要条件是。 证明：方程组的增广矩阵为： ，系数矩阵的秩为4。故方程组有解的充分必要条件是。 判断下列方程组解的存在性： 1） ； 2） 。 解：1）方程组的增广矩阵为：。当不等于，，，中任一数时，系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组无解；当等于，，中某一数时，方程组有解。 2）方程组的增广矩阵为：。当，，互不相同时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为3，方程组有唯一解；当，，有某两个相等时，或，，全相等时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩分别为1或2，方程组有无穷个解。 5．设有齐次线性方程组 ，。 讨论方程组何时仅有零解？何时有无穷多解？ 解：方程组系数矩阵的行列式 。当时，即时，方程组仅有零解；当时，方程组有无穷多解。 提高题 证明：线性方程组 有解的充分必要条件是 的解全是 的解。 证明：1）若方程组有解，设是方程组的解。则 ，从而 。 2）若 的解全是 的解，即 与 同解，所以矩阵与矩阵的秩相等。而它们的转置即为方程组的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩阵与原矩阵的秩相等，所以方程组有解。 已知平面上三条不同直线的方程分别为： ：， ：， ：。 证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为 。 证明：1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2，故增广矩阵的秩也必须为2。即行列式，故。 2）若，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。 又，所以系数矩阵的秩为2。从而方程组有唯一解。 3．已知方程组 （I） 与 （II） 。 问方程组（II）中的参数为何值时，方程组（I）与（II）同解。 解：因为方程组（I）与（II）同解，则方程组（I）与（I）、（II）联立的方程组同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为 。 所以，， 。 4．给定齐次线性方程组 ， 其中的行列式，且存在一，若 是方程组的任一非零解，证明： 。 证明：由于，且存在一，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为，基础解系中仅含一个非零解。又是齐次方程组的一个非零解，所以。 习题四 1.设，，。且向量满足，求。 解：。 2. 下列向量组中，向量能否可由，，线性表示？若能，写出表示式，并说明表示式是否唯一。 1），，，； 2），，，。 解：1）因为，故。表示式是唯一的。 2）因为，故表示式不唯一，其中一个表示为 。 3. 判断下列向量组是否线性相关： 1），，； 2），，； 3），，； 4），，。 解：1）线性相关；2）线性无关；3）当时线性相关，当时线性无关。 4）当有某两个相等时线性相关，当互不相同时线性无关。 4. 设，，线性无关，证明，，也线性无关。 证明：设有 ，即 。由于，，线性无关，所以，推出。故，，也线性无关。 5. 设向量组线性无关，而向量组，线性相关。证明可表示成的线性组合，且表示式是唯一的。 证明：因为向量组，线性相关，故存在不全为零的使得 。若，则。又线性无关，可得，此与不全为零矛盾，所以。从而有，即可表示成的线性组合。 下证表示式是唯一。设有，可得 。由线性无关，可得，即表示式是唯一的。 6. 判断下列两向量组是否等价： 1） ， ； 2） ， ； 3），，；，，。 解：1）因为，故两向量组不等价。 2）因为，故两向量组等价。 3）因为，所以无论，，的相关性如何，都是线性相关的，故，，与不等价。 7. 求下列向量组的极大线性无关组，并用它来表示其余向量： 1），，，，。 2），，，。 解：1）因为，所以是一个极大线性无关组，且 。 2）因为，原向量组即为它的一个极大线性无关组。 8. 证明：秩（）秩（）+秩（）。 证明：记的行向量组为 ，极大线性无关组为；的行向量组为 ，极大线性无关组为。则的向量组为，它可由，线性表示。所以秩（）＝秩（）＝秩（）+秩（）。 9. 用基础解系表示下列方程组的解。 1） ； 2） 。 解：1）因为 ，记，，，，则通解为（为任意数）。 2）