求函数的Fourier变换.PPT

* 第六章 Fourier变换法 一、Fourier积分 （1）若函数是定义在(-∞,∞)上的周期为2l的周期函数， f(x)= f(x+l)， 则f(x)可以展为三角函数 b0=0 （2）复数形式的Fourier级数 （3）①若函数f(x)是奇函数，f(x)=- f(-x) （正弦级数） ②若函数f(x)是偶函数，f(x)= f(-x) （余弦级数） 2、非周期函数的Fourier积分 周期为2l的周期函数，展为Fourier级数： 对于非周期函数，可视为l→∞， 当l→∞，△k→0时， 二、Fourier变换 f(x)是原函数，F(k)是像函数。 f(x)=F-1[F(k)] 变换： 反演： 例：求函数 的Fourier变换，并作出图形。 三、余弦变换和正弦变换 1、对于奇函数，f(x)=-f(-x)，A(k)=0 正弦变换 2、对于偶函数，f(x)=f(-x)，B(k)=0 余弦变换 例：研究矩形脉冲的频谱。 解：f(t)是偶函数， 展为余弦积分： 例：设f(t)=e-|t|，求F[f(t)]及f(t)的Fourier积分表达式。 解：f(t)=e-|t|为偶函数，可展为余弦积分， 五、Fourier变换的性质 1、线性性质 F[af1+bf2]=aF[f1]+bF[f2] 证明： F[af1+bf2] =aF[f1]+bF[f2] 2、相似性质 设F[f(x)]=F(k)，b≠0，则 证明： 令bx=ξ, dx=d(ξ/b) b0时， b0时， b=-1时，F[f(-x)]=F(-k)——翻转公式 3、延迟性质 若F[f(x)]=F(k)，x0为实常数，则 证明： 令x- x0=ξ, 则dξ=dx 4、导数的像函数（微分性质） （1）F[f(x)]=ik[f(x)] 证明： （2）若 k=0,1,2,…,n-1, 则 5、积分性质 令 φ(x)=f(x) F[f(x))=F[φ(x)]=ikF[φ(x)] 6、位移性质 若F[f(x))=F(k)，则 证明： 7、卷积定理 （1）定义： （2）卷积定理： 证明： 1、已知：F[eiφ(t))=F(k)，φ(t)为实函数，证明： 证明： 2、求函数f(x)=e-αx（α0,0≤x≤∞）的正弦积分， 并求出其变换。 解：可将函数f(x)延拓为在(-∞,∞)上的奇函数， 利用分部积分计算 3、求函数 的Fourier变换，并求此变换在ε趋近于+0时的极限。 解：f(x)是偶函数，可以展为余弦级数， 4、证明： 证明：令f(x)=e-x，将其延拓为(-∞,∞)上的偶函数， 展为余弦积分： 解：将f(x)展成余弦积分： 5、积分方程 六、δ函数 1、定义 δ(x)函数定义在(-∞,∞)上具有如下性质： （1） （2） 例如，将一电量为q的点电荷置于x0点，△x→0时， 电量集中在x0点， 所以，电荷密度ρ(x)可用δ(x)函数表示： ρ(x)=qδ(x -x0) 2、δ函数的性质 （1）对于任何一个连续函数f(x)， 证明： 当x0=0时， （2）δ函数的Fourier变换和积分表示 当x0=0时，F[δ(x)]=1/2π *