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不等式知识复习 知识要点： 一 不等式的性质 ①对称性：； ②传递性：； ③可加性：； ④可乘性：； ⑤加法性质：； ⑥乘法性质：； ⑦乘方性质：； ⑧开方性质：； ⑨可倒性： 练习 1判断下列各命题的真假，并说明理由 ⑴如果，那么； ⑵如果，那么； ⑶如果，那么； ⑷如果，那么； ⑸如果，那么； ⑹如果，那么； ⑺如果，那么； ⑻如果，那么 2 证明下列命题 ⑴如果，那么； ⑵如果，那么； ⑶如果，那么 3 如果，求 4 已知且，求的取值范围 二 几个重要不等式 ① ② ③ ④ 以上不等式取“=”时当且仅当（以上不等式均可用来证明不等式及求相关最值） 对于②的应用：已知为定值，可求的最小值； 前提条件：“一正（）；二定（为定值）；三相等（等号可取）” 例1 已知，求的最小值； 对于③的应用：已知为定值，可求的最大值； 前提条件：“为定值，等号可取” 例2 已知，求的最大值； 注意：如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； 练习： 1求下列函数的最小值 ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹； ⑺已知且，求的最小值； ⑻已知且，求的最小值； ⑼； 2求下列函数的最大值 ⑴； ⑵；⑶； 三 不等式的证明 1比较法 ①作差比较法 作商比较法() 原理： 方法步骤：做差→变形→定号→结论 作商→变形→判断与1的大小→结论 例1 已知且，求证：； 例2 已知且，求证： 2综合法：从命题的已知条件出发，利用相关的公理、定理、定义、性质、法则等，逐步推导，直至推导出命题的结论成立的方法 逻辑关系： 特点：由因导果 例1 已知且，求证：； 例2 已知，求证： 3 分析法：从命题的结论出发，去寻求使得结论成立的充分条件，把证明命题转化为判定这些充分条件是否具备的问题，直至能肯定这些充分条件都已具备的方法 逻辑关系： 特点：执果所因 注意关键词“要证、只需证”的使用 例1 求证： 例2 已知 ⑴若，求证：； ⑵若，求证： 四 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：表示到原点的距离 公式法：,与型的不等式的解法. 定义法：用“零点分段法”分类讨论.（含有两个或两个以上绝对值的不等式） 几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.（含有两个绝对值的不等式且的系数为1） 2 整式不等式的解法（数轴穿线标根法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正)； 2） 分解因式（将不等式左边分解为若干个一次因式的乘积）； 3） 标根、穿线写解集（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上，从右到左，从上到下依次穿线。注意：能取的根打实心点，不能去的打空心，偶次重根不能穿过） 特例① 一元一次不等式解的讨论； （一次函数与轴交点的横坐标是对应方程的解，其左右两侧是对应不等式的解集） ②一元二次不等式解的讨论（结合函数图像）. 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R （二次函数当时与轴交点的横坐标是对应方程的解，其左右两侧是对应不等式的解集） 二次函数图像的画法（关键：开口方向；对称轴；顶点坐标；（与轴的交点）） 开口方向（由决定） 对称轴： 顶点坐标： 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断，当时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为(或)；(或)的形式， 2）转化为整式不等式（组） 1