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含有绝对值的不等式名师导学.doc
含有绝对值的不等式名师导学
学科: 数学 教学内容:6.5 含有绝对值的不等式 【基础知识精讲】
1.含有绝对值不等式的性质.
(1)定理: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
注意等号成立的条件.
(2)含有绝对值不等式性质的推论.
可将定理推广到①|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|.
更一般地②|a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|(n∈N)
(3)含有绝对值的不等式性质的几何意义:
其一个几何解释是:三角形任何一边小于其它两边之和,而大于其它两边之差(a0,b0).它不但可用于某些不等式的证明,还可把a、b推广到两个向量乃至以后要学到的复数当中去.
(4)应用含有绝对值不等式的性质求含有绝对值函数的最值时,一定要注意等号成立的条件.如:
|a+b|=|a|+|b|ab≥0
|a-b|=|a|+|b|ab≤0
|a|-|b|=|a+b|(a+b)b≤0
|a|-|b|=|a-b|(a-b)b≥0
2.含有绝对值不等式的主要类型及解法.
(1)|f(x)|a(a0) -af(x)a
(2)|f(x)|a(a0) f(x)a或f(x)-a
(3)|f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x)
(4)|f(x)|g(x) f(x)g(x)或f(x)-g(x)
(5)|f(x)||g(x)|f2(x)g2(x)
3.本节学习要求
(1)解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号,转化为不含绝对值的不等式来解.化去绝对值符号的主要途径:
①根据实数的绝对值的意义.即:
|x|a
|x|a
②利用不等式的性质两边平方:
|f(x)|a(a0) [f(x)]2a2
|f(x)|a(a0) [f(x)]2a2
|f(x)||g(x)|f2(x)g2(x)
③零点分段法则:若不等式含有两个或两个以上的绝对值并且含有未知数,通常先把每个绝对值的原数值等于零的未知数的值求出(即零点),然后将这些零点标在数轴上,此时数轴被零点分成了若干个区间,在每一个区间里每一个绝对值号内的代数式有一个确定的符号,此时利用绝对值的定义,可去掉绝对值符号.将含有绝对值的不等式求解,原不等式的解集就是这若干区间上不等式解集的并集.
(2)含有绝对值不等式的证明,常用比较法、分析法、综合法、换元法、反证法、放缩法等证明方法,注意有时会应用性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行适当的放缩.
通过本节学习,培养学生等价转化的思想及综合应用数学问题的能力.
【重点难点解析】
首先复习初中已学过的有关绝对值的基本概念和基本知识,及|x|a,|x|a(a0)型的不等式的解法.在此基础上,继续学习一类含有绝对值不等式的性质、证明、解法及其简单应用.
例1 已知|a|1,|b|1,比较|a+b|+|a-b|与2的大小.
分析 此题含有两个绝对值的式子,若考虑去绝对值符号,情况较为复杂,此题选取(a+b)(a-b)≥0或(a+b)(a-b)0两种情况分类较为简单.
解:讨论:(1)当a+b与a-b同号时.
|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|2
(2)当a+b与a-b异号时
|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|2
综合得:|a+b|+|a-b|2
例2 解下列不等式
(1)|x-x2-2|x2-3x-4
(2)||≤1
(1)分析一 可按解不等式的方法来解.
原不等式等价于:
x-x2-2x2-3x-4 ①
或x-x2-2-(x2-3x-4) ②
解①得:1-x1+
解②得:x-3
故原不等式解集为{x|x-3}
分析二 ∵|x-x2-2|=|x2-x+2|
而x2-x+2=(x-)2+0
所以|x-x2-2|中的绝对值符号可直接去掉.
故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4
解得:x-3
∴ 原不等式解集为{x-3}
(2)分析 不等式可转化为-1≤≤1求解,但过程较繁,由于不等式||≤1两边均为正,所以可平方后求解.
原不等式等价于||2≤1
9x2≤(x2-4)2 (x≠±2)
x4-17x2+16≥0
x2≤1或x2≥16
-1≤x≤1或x≥4或x≤-4
注意:在解绝对值不等式时,若|f(x)|中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负,恒负或恒非正),就可直接去掉绝对值符号,从而简化解题过程.
例3 求使不等式|x-4|+|x-3|a有解的a的取值范围.
分析一 可利用绝对值的性质,求出函数.
f(x)=|x-4|+|x-3|的最小值,则只需af(x)min即可.
利用绝对值的性质:
|x-4|+|x-3|≥|x-4-(x-3)|=1
∴ a
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