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含有绝对值的不等式名师导学 学科： 数学 教学内容：6.5 含有绝对值的不等式 【基础知识精讲】 1.含有绝对值不等式的性质. (1)定理： ｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜ ｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜ 注意等号成立的条件. (2)含有绝对值不等式性质的推论. 可将定理推广到①｜a1+a2+a3｜≤｜a1｜+｜a2｜+｜a3｜. 更一般地②｜a1+a2+a3+…+an｜≤｜a1｜+｜a2｜+｜a3｜+…+｜an｜(n∈N) (3)含有绝对值的不等式性质的几何意义： 其一个几何解释是：三角形任何一边小于其它两边之和，而大于其它两边之差(a0,b0).它不但可用于某些不等式的证明，还可把a、b推广到两个向量乃至以后要学到的复数当中去. (4)应用含有绝对值不等式的性质求含有绝对值函数的最值时，一定要注意等号成立的条件.如： ｜a+b｜＝｜a｜+｜b｜ab≥0 ｜a-b｜＝｜a｜+｜b｜ab≤0 ｜a｜-｜b｜＝｜a+b｜(a+b)b≤0 ｜a｜-｜b｜＝｜a-b｜(a-b)b≥0 2.含有绝对值不等式的主要类型及解法. (1)｜f(x)｜a(a0) -af(x)a (2)｜f(x)｜a(a0) f(x)a或f(x)-a (3)｜f(x)｜g(x) -g(x)f(x)g(x) (4)｜f(x)｜g(x) f(x)g(x)或f(x)-g(x) (5)｜f(x)｜｜g(x)｜f2(x)g2(x) 3.本节学习要求 (1)解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式来解.化去绝对值符号的主要途径： ①根据实数的绝对值的意义.即： ｜x｜a ｜x｜a ②利用不等式的性质两边平方： ｜f(x)｜a(a0) ［f(x)］2a2 ｜f(x)｜a(a0) ［f(x)］2a2 ｜f(x)｜｜g(x)｜f2(x)g2(x) ③零点分段法则：若不等式含有两个或两个以上的绝对值并且含有未知数，通常先把每个绝对值的原数值等于零的未知数的值求出(即零点)，然后将这些零点标在数轴上，此时数轴被零点分成了若干个区间，在每一个区间里每一个绝对值号内的代数式有一个确定的符号，此时利用绝对值的定义，可去掉绝对值符号.将含有绝对值的不等式求解，原不等式的解集就是这若干区间上不等式解集的并集. (2)含有绝对值不等式的证明，常用比较法、分析法、综合法、换元法、反证法、放缩法等证明方法，注意有时会应用性质｜a｜-｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜进行适当的放缩. 通过本节学习，培养学生等价转化的思想及综合应用数学问题的能力. 【重点难点解析】 首先复习初中已学过的有关绝对值的基本概念和基本知识，及｜x｜a,｜x｜a(a0)型的不等式的解法.在此基础上，继续学习一类含有绝对值不等式的性质、证明、解法及其简单应用. 例1 已知｜a｜1,｜b｜1，比较｜a+b｜+｜a-b｜与2的大小. 分析 此题含有两个绝对值的式子，若考虑去绝对值符号，情况较为复杂，此题选取(a+b)(a-b)≥0或(a+b)(a-b)0两种情况分类较为简单. 解：讨论：(1)当a+b与a-b同号时. ｜a+b｜+｜a-b｜＝｜a+b+a-b｜＝2｜a｜2 (2)当a+b与a-b异号时 ｜a+b｜+｜a-b｜＝｜(a+b)-(a-b)｜＝2｜b｜2 综合得：｜a+b｜+｜a-b｜2 例2 解下列不等式 (1)｜x-x2-2｜x2-3x-4 (2)｜｜≤1 (1)分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x2-2x2-3x-4 ① 或x-x2-2-(x2-3x-4) ② 解①得：1-x1+ 解②得：x-3 故原不等式解集为｛x｜x-3｝ 分析二 ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜ 而x2-x+2＝(x-)2+0 所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4 解得：x-3 ∴ 原不等式解集为｛x-3｝ (2)分析 不等式可转化为-1≤≤1求解，但过程较繁，由于不等式｜｜≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于｜｜2≤1 9x2≤(x2-4)2 (x≠±2) x4-17x2+16≥0 x2≤1或x2≥16 -1≤x≤1或x≥4或x≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 例3 求使不等式｜x-4｜+｜x-3｜a有解的a的取值范围. 分析一 可利用绝对值的性质，求出函数. f(x)＝｜x-4｜+｜x-3｜的最小值，则只需af(x)min即可. 利用绝对值的性质： ｜x-4｜+｜x-3｜≥｜x-4-(x-3)｜＝1 ∴ a