§量子力学基本假设.pptVIP

二. 力学量与算符 (1) 算符（operator）即表明一种运算或一种操作或一种变换的符号。 1．算符 一般情况下，一个算符 作用于一个函数 ，得到的将是另一个函数 。 例如： (2) 常见算符及其性质 ① 时空坐标算符： 时空坐标算符就是它们自己。 ② 单位算符和零算符 即常数算符就是常数本身。 ③ 线性算符 如 满足 ，则 为线性算符。 例如： 为线性算符。 例： 中那些是线性算符？ ④ 对易算符： 注： 不一定等于 ，二者不相等时则不对易。 运算顺序是从右到左。 若二者对易，则 所代表的物理量可以同时测定。 ⑤ 厄米(Hermite)算符 若有算符 满足 ，则称 为厄米算符。 例： 所以， 是厄米算符。 是线性算符，但不是厄米算符。 厄米算符的几个重要性质： 正交： ? 对厄米算符，具有不同本征值的本征函数相互正交。 若 为厄米算符，且 则 必为实数。即厄米算符的本征值为实数。 (3) 算符的运算规则 ①加减法 ②乘法 （注：乘法交换律不一定满足） ③算符相等 ④算符的平方 2．力学量与算符关系假设 假设2 对一个微观体系的每个可观测的力学量 都对应着一个线性轭米算符 。 力学量：经典物理学中的物理量。如：时间、坐标、动量、动能、势能等。 力学量的基本算符： ①时空坐标算符 ②动量算符 对于单电子一维运动的动量算符： 其中， 构造力学量算符的方法 先将力学量写成作标、时间和动量的函数，然后进行如下代换： 动能算符 一维空间运动粒子的动能算符: 三维空间运动粒子的动能算符: 势能算符 一维空间运动粒子的势能算符: 三维空间运动粒子的势能算符: 能量算符（哈密顿算符） 一维空间运动粒子的能量算符： 粒子的能量算符——哈密顿算符 ， 三维空间运动粒子的能量算符： 角动量、角动量平方算符 一质量为m的粒子围绕点O运动,其角动量 按照矢量积的定义展开之： 则角动量在三个坐标轴上的分量 的经典表达式应为： 它们对应的量子力学算符(直角坐标形式)： 1. 假设3 例1： 那么， 为的 本征函数，与函数 对应的本征值是2， 为本征方程。 如果 算符满足 其中a为常数，则称a是算符的一个本征值，f(x)为算符 的属于本征值a的本征函数，上述方程称为本征方程。 三、 本征态，本征值和薛定谔方程 例2： 下列函数,那些是 的本征函数?并求出相应的本征值。 其相应的本征值为-m2 其相应的本征值为-1 (a) 和 (b) 是 的本征函数。 2．定态薛定谔方程 当体系的势能项V中，不含时间变量t，体系的势能不随时间变化亦即体系的哈密顿量不随时间变化，这种状态称为定态。(本课程只讨论定态) 于是定态薛定谔方程的算符表达式为： 上式表明哈密顿算符 作用在波函数上等于能量E乘以波函数。E是 的本征值， 为的 本征态，方程为本征方程。定态薛定谔方程的算符表达式实际上就是能量算符的本征方程，表示能量有确定值。 将某体系实际的势能算符写进方程，根据边界条件和品优波函数的要求，求得描述体系的波函数?i以及该状态的能量本征值Ei。 解一个Schrodinger方程所得的?1， ?2， ?3，…本征函数，形成一个正交、归一的函数组。