【数学】实际问题中导数的意义课件(北师大版选修).pptVIP

* * 第三章 导数应用 3.2.1 实际问题中导数的意义 导数来源于生活，服务于生活。实际生活中，有许多词语与导数有关。如物理上的功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降水强度、边际成本等。这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的含义。 一．复习引入： 例1、如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W（单位：J）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为W=W(t)= (1)??求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义 (2)??求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义 二．新课探析 1、功与功率 分析：求功W关于时间t的平均变化率 = 所以需要找出自变量t的变化量（从1s变到3s），函数值W的变化量（W(1)到W(3)），导数W’(t)表示在t时刻的瞬时变化率 解：（1）当t从1s变到3s时，功W从 W(1)=11j变到W(3)=21j 此时功W关于时间t的平均变化率为 它表示t从1s变到3s这段时间，这个人平均每秒做功5j。 (2) W’(t)= W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示t=1s和t=2s时，这个人每秒做的功为7j和4j 在物理学中，通常称力在单位时间内做的功叫做功率，它的单位是瓦特。 在气象部门发布的天气预报中，我们经常听到小雨、中雨、暴雨等专业术语，如何反映和区别它呢？ 在气象学中，通常把单位时间内的降水量称为降水强度。常用的单位是毫米／天、毫米／小时。 2、降雨强度： 小雨是指24小时内降水量不超过10毫米的雨； 小到中雨是指24小时内降水量为5毫米～18毫米； 中雨是指24小时内降水量为10毫米～25毫米； 中到大雨是指24小时内降水量为18毫米～38毫米 大雨是指24小时内降水量为25毫米～50毫米； 大到暴雨是指24小时内降水量为38毫米～75毫米 暴雨是指24小时内降水量超过50毫米； 大暴雨是指24小时内降水量超过100毫米； 特大暴雨是指24小时内降雨量超过200毫米； 例2、（降雨强度）下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据： 24 22 20 17 14 10 0 降雨量y/mm 60 50 40 30 20 10 0 时间t/min 显然，降雨量y是时间t的函数，用y=f(t)表示。 (1)分别计算当t从0变到10，从50 变到60时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t)= ，求 并解释它的实际意义。 解 （1）当t从0变到10时，降雨量y从0变到10，此时， 降雨量y关于时间t的平均变化率为 它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分降雨量为1 mm. 当t从50变到60时，降雨量y从22变到24，此时，降雨量y关于时间t 的平均变化率为 它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分降雨 量为0.2 mm. 1＞0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min 比以后10 min的雨下的大. 在气象学中，通常把在单位时间（如1时、1天等） 内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的 一个重要指标.因此用气象学的知识解释，0～10 min 这段时间的平均降雨强度是1 mm/min，而50～60 min 这段时间的平均降雨强度为0.2 mm/min. （2）首先求导函数，根据导数公式可得 将t=40代入可得 它表示的是t=40 min时降雨量y关于时间t的瞬时 变化率，即降雨强度. 实际意义就是说t=40 min这个时刻的降雨强度 为0.25 mm/min. 3.边际 例3、（边际成本）建造一幢面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数： （1）当x从100变到120时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ （2）求 并解释它的实际意义。 具体详解请同学们自学教材5分钟，之后我们来看几 个练习题.