一习题课(二次).docVIP

（1.21、1.22、1.28、1.29、1.36、1.37、1.43、1.50） 1.21 将一质点以初速抛出，与水平线所成之角为。此质点所受到的空气阻力为其速度的倍，为质点的质量，为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为时所需的时间。 解： 阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好. 轨道的切线方向上有： ① 轨道的法线方向上有： ② 由于角是在减小的，故 ③ 由于初末状态由速度与水平方向夹角来确定，故我们要想法使①②变成关于的等式 由① 即 ④ 把代入可得 ⑤ 用④⑤可得 即，两边积分得 ⑥ 代入初始条件时，即可得 代入⑥式，得 ⑦ 又因为 所以 ⑧ 把⑦代入⑧ 积分后可得 1.22 如向互相垂直的匀强电磁场、中发射一电子，并设电子的初速度与及垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为，式中为电场强度，为电子所带的电荷，为任一瞬时电子运动的速度。 1.22 各量方向如题1.22.1图. 电子受力 则电子的运动微分方程为 ②-③-④ 由②，即 ⑤ 代入③整理可得 ⑥ 对于齐次方程的通解 非齐次方程的特解 所以非齐次方程的通解 代入初始条件：时，得 时，得,故 ⑦ 同理，把⑦代入⑤可以解出 把⑦代入⑤ 代入初条件时，，得.所以 ）1.28 重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。 1.28解 建立如题1.28.1图所示直角坐标. 椭圆方程 ① 从滑到最低点，只有重力做功.机械能守恒.即 ② 设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有： N-mg=mv2/ ③ 为点的曲率半径. 的轨迹： 得 ； 又因为 所以 故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为 方向垂直轨道向下. 1.29 一质量为的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为，式中为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为 1.29 解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为 ①-② 由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：③-④ 因为曲线上每点的曲率⑤ 所以 ⑥ ⑦ 把⑥⑦代入曲率公式⑤中 所以⑧ 由④ 即，数学可知，即所以⑨ 把⑧⑨代入① 1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。 ，， 1．36 解 （a）保守力满足条件对题中所给的力的表达式 ，代入上式 即 所以此力是保守力，其势为 (b)同（a）， 由 所以此力是保守力，则其势能为 1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能：＜0试求 中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较； 求质量为的粒子作半径为的圆运动的动量矩及能量。 1.37 解 （a）因为质子与中子之间引力势能表达式为 故质子与中子之间的引力 （b）质量为的粒子作半径为的圆运动。 动量矩 由（a）知 提供粒子作圆周运动的向心力，方向是沿着径向， 故 当半径为的圆周运动 两式两边同乘以 即 又因为 有 做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。 所以 1.43 如果质点受有心力作用作双纽线运动 时，则 试证明之。 1.43证 由比耐公式 质点所受有心力做双纽线运动 故 故 1.50 质量为的质点在有心斥力场中运动，式中为质点到力心的距离，为常数。当质点离很远时，质点的速度为，而其渐进性与的垂直距离则为（即瞄准距离）。试求质点与的最近距离。 1.50解 质点在有心力场中运动，能量和角动量均守恒。无穷远处势能为零。 所以 ① ② 任意一处 由②代入① 所以