一弹性力学的基本理论.pptVIP

所以，平面问题的应力边界条件 在 上 当边界面垂直于坐标轴时，应力边界条件将简化： 边界垂直于x 轴，l=?1, m= 0 边界垂直于y 轴， l= 0 , m=?1 在 上 在 上 混合边界条件 物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分具有已知表面力，因而具有应力边界条件。 按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类： 位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是 边界。这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系。 混合边界问题：既有Su 边界，又有 边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。 试列出下图所示弹性体的边界条件 q1 q2 ρgy a O x y x=a x=0 y=0 y=b b §1-4 求解平面问题的基本方法 在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：按位移求解，按应力求解和混合求解。 按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出应变分量，从而用物理方程求出应力分量。 按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出应变分量，从而用几何方程求出位移分量。 在混合求解时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知函数以后，再用适当的方程求出其它的未知函数。 弹性力学的一些普遍原理 圣维南原理 叠加原理 在线弹性和小变形条件下，同一物体上若干组外力分别作用下的叠加，等于这若干组外力同时作用于该物体上。 解的唯一性定律 利用应变能定律可以证明，受已知体力作用的弹性体，其表面或者面力已知，或者位移已知，或者一部分面力已知而另外一部分位移已知，则弹性体在平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一的，对于后两种情况，位移分量也是唯一的。 把物体一小部分上的面力变换成分布不同但静力等效的面力，只影响近处的应力分布，而不影响远处的应力。该原理又称为局部性原理。换言之，若一小部分边界作用有平衡力系（即主矢量和主矩为零），则此平衡力系只在近处产生显著应力，而对远处的影响可以忽略不计。 表2 平面问题基本方程 名 称 基本方程表达式 基本方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 平面应力问题 平面应变问题 基本未知量 注： 表3 平面问题的三类边界条件 位移边界条件 应力边界条件 混合边界条件 在边界 上 在边界 上 或 ，在边界 上 或 在边界 上 弹性力学的主要解法 解析法 应用数学分析方法求解微分方程，得出精确的函数解。 变分法（能量法） 根据能量极值原理，导出变分方程，求解。得出近似解答。 差分法 将微分方程和边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解。 有限单元法 将连续体变换为离散体结构，再将变分原理应用于离散化结构，将微分方程化为线性代数方程组，用计算机求解。 位移法－－按位移求解 在平面应力问题中，物理方程是 求得应力分量 位移法，应力法－－直接解题法 将几何方程 代入，得 再将上式代入平衡微分方程 简化后，得到用位移表示的平衡微分方程 代入应力边界条件 简化后，得到用位移表示的应力边界条件 对于平面应变问题，须在上面的各个方程中将 E 换为 ，将 ? 换为 如图所示悬挂板，在o点固定，下端自由，材料比重为?，试求该板的应力分量和位移分量。 一维问题 v=0, u=u(x), 泊松比μ＝0 ?g 代入用位移表示的平衡微分方程 解出 利用边界条件 得出 所以 将平面问题几何方程中?x对 y的二阶导数和?y对x的 二阶导数相加，得到 应力法－－按应力求解 — 变形协调方程或相容方程 对于平面应力问题，将物理方程代入变形协调方程，得到 利用物理方程将变形协调方程中的应变分量消去，使之只包含应力分量（基本未知函数）。 利用平衡微分方程，将上式简化为只包含正应力而不包含剪应力。将平衡微分方程写成如下形式 将前一方程对x求导，后一方程对y求导，然后相加，并注意 得 代入，简化后，得到平面应力问题的相