三生命金的精算现值.pptVIP

第三章 生命年金的精算现值 第一节 生命年金概述 生命年金（生存年金）的概念与种类 ： 生命年金是指按预先约定的金额 , 以一定的时间为周期绵延不断地进行一系列的给 付 , 且这些给付必须以原指定的领取人的生存为前提条件 , 一旦原指定的领取人死亡 , 或 预先约定给付期届满时 , 给付即宣告结束 生命年金在人寿保险、退休金体系、残疾保险及抚恤保险中均起着重要作用。如在人 寿保险中保险费通常是以生命年金的方式分期缴纳的 , 在退休金体系中退休金通常是以生 存年金的方式分期给付的 生命年金的种类 离散型与连续型；期初支付与期末支付；即期与延期； 终身与定期以及变额生命年金与生命年金。 精算现值的计算方法 保险金额为 1 个单位的 n 年生存保险 , 其给付保险金现值的期望 ，称为趸缴纯保费 ( 这是与保险相联的缘故）。 而在生命年金中 ,n 年期生存保险的期望现值 E(Z)( 即建缴纯保费 ) 称为精算现值， 精算 一词意味着除含利率外 , 还含有死亡率等 其他因素 在生命年金中 , 保险金额为 1 个单位的 n 年生存保险的精算现值 E(Z) 用符号nEx 表示, 即 精算现值的计算方法 对于生命年金的精算现值 , 其计算方法有两种 : 其一是现时支付法 , 其二是总额支付法 现时支付法的计算步骤是 : 求出时刻 t 时生命年金的给付数额 ;确定时刻 t 时给付数额的精算现值 ; ·对给付年金的精算现值按所有可能的给付时间进行相加或积分。 总额支付法的计算步骤是 : 求出从开始支付至死亡或停止支付这段时间 t 内所有年金给付额的现值 , 这一现值仅与利率有关 ;将求出的现值乘以相应的死亡概率或概率密度 ;对第二步得到的结果按所有可能的死亡时间 t 进行相加或积分. 精算现值的两种计算方法是等价的。 § 3.1 连续型生命年金 连续型生命年金是指每时每刻连续不断地进行支付的生命年金。这类生命年金一般地 分为定期生命年金、终身生命年金、延期定期生命年金和延期终身生命年金等 以终身生命年金为例 , 考察定额终身生命年金的精算现值。假设 (x) 按连续方式 支付年金额为 1 元的终身生命年金 , 其精算现值用符号表示 (x) 未来寿命 T= T(x), 则 T=T(x)的密度函数是 为衡量支付连续型的终身生命年金的风险 , 我们可以考虑支付终身生命年金现值的方差。 [ 例1] 设死力是常值μ=0.04, 利力δ=0.06,在此假设条件下 , 求 : (1) 终身生命年金的精算现值(2) 终身生命年金现值的标准差 ;(3)终身生命年金现值超过其精算现值的概率(所收取的趸缴纯保费将小于支付实际给付年金额为 1 元的终身生命年金的概率 )。 解: 类似地 , 对于 (x) 按连续方式领取的年金额为 1 元的 n 年定期生命年金 , 其精算现值用符号 表示. 利用现时支付法 , 则 3.1.3 延期生命年金 比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身生命年金”+“n年期定期生命年金” 例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1）终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金 3.1.4 n年确定期生命年金 3.1.5 变额年金 将上述的有关连续型生命年金的讨论小结如下： § 3.2 离散型生命年金 离散型生命年金是指年金的领取人每次领取年金的时间间隔是离散的 , 如按每年、每 半年、每季度、每月来进行的。 离散型生命年金还分为 “ 期初付 ” 和 “ 期末付 ” 两种情 形。其中 , 期初付生命年金在个人寿险中得以广泛应用 , 大多数个人寿险的保险费就是按 期初付生命年金的方式分期缴纳保险费的。 3.2.1按年付的定额生命年金 按年付生命年金是以年为时间间隔 , 每年支付一次 , 每次支付的金额均相等的生命年金 以期初付的定额的终身生命年金为例 , 考虑其生命年金的精算现值: 设年龄为x岁的生存者在每个年度初领取年金额为 1 个单位的终身生命年金 ( 即期初付终身生命年金 ) 的精算现值 上式表明 : 年龄为 x 岁的 lx个生存者 , 若每人缴纳 元建立一笔基金 ( 基金总 额为 元 ), 并按预定年利率 i 计息积存 , 则可使该群体中生存到x+k 岁的 lx+k个人 , 每人获得 1 元的金额(k=0,1,2,..) 若利用总额支付法 , 则期初付年金额为 1 个单位的终身生命年金支付的现值: