三量子力学中的力学量(上).pptVIP

* 第三章 量子力学中的力学量 微观粒子具有波粒二象性 与经典物理的粒子概念不同 需要不同的描述方式——波函数描述状态 算符描述力学量 第1节 表示力学量的算符(1) 算符：代表运算 函数 函数 例如，微分、积分、复数共扼、xψ(用一个函数乘另外函数)… 例如定态薛定谔方程 动量和坐标算符（前面已引入） 经典物理中力学量对应的算符 1) 相当普遍（x, p状态）2) 厄米性 3) 自旋、同位旋、等，怎么办? 例如 本征值方程： 本征函数 本征值 第1节 表示力学量的算符(2) 定理 厄米算符的本征值为实数 容易证明坐标算符和动量算符都是厄米算符（见书p56)。 量子力学基本假定：体系处于力学量算符 的本征态时，该力学量有确定值，就是该力学量算符本征态对应的本征值。 上章已经知道：体系处于动量算符本征态时，系统的动量有确定值，就是动量算符的本征值。处于能量算符(哈密顿量 )本征态(定态)时，系统的能量有确定值——能量本征值。推广之！ 厄米算符 ： 力学量的数值是实数，要求力学量算符的本征值应该是实数。 因此要求：力学量算符是(线性)厄米算符。 线性：叠加原理，说明干涉衍射等。 取 由厄米算符的定义得 第2节 动量算符和角动量算符——求解本征值方程 1、动量本征值方程 容易得到方程的解 公式 （d维） 它满足“归一化”条件 在三维情况下 有时希望解决：1、不能归一化 2、连续谱——分立谱 (箱归一化) 上述解 实 都成立——连续谱 而且解也不能满足归一化条件 没有严格意义上的自由粒子 第2节 动量算符和角动量算符——求解本征值方程 动量本征函数 1、动量本征值方程——箱归一化 满足箱归一化条件 箱归一化 周期性边界条件 动量本征函数 连续谱 分立谱 第2节 动量算符和角动量算符——求解本征值方程 2、角动量算符 球坐标结果(推导见后，或略去) 角动量平方算符 注意 因单位矢量是坐标的函数 求 的共同本征函数? 为什么不是求 的共同本征函数？ 预备知识— x z y φ=φ0 φ0 ? 0 球(r, ?, φ) r = r 0 ? = ? 0 P0 O 预备知识— (较好的选择!) 角动量算符 角动量平方算符 球坐标结果 角动量算符 0 0 第2节 动量算符和角动量算符 2、角动量算符 求 的共同本征函数 单值性要求 令 该方程是数学物理中的标准方程。结论是：P是非零有限函数的条件是 ——勒让德(Legendre)多项式 ——微分表示 球谐函数方程 连带勒让德方程 预备知识——连带勒让德方程解法 若 则 级数解法：作幂级数展开 比较同幂次项系数 结论是：P是非零有限函数的条件是 ——勒让德(Legendre)多项式 ——微分表示 ——正交性 第2节 动量算符和角动量算符 2、角动量算符 最后结果 的共同本征函数Y称为球谐函数 ——归一化常数 ——Legendre多项式 本征值 正交归一化条件 的状态分别成为s, p, d, f 态。 习题(p101 3.5题+1问) 求刚性转子的定态能量及波函数。哈密顿量分别是 1) 2) 3) 简并度 第3节 氢原子 1、预备知识——两体问题转化为单体问题 引入质心坐标 相互作用势能 能量(哈密顿量) 质心动量 相对动量 总质量 约化质量或折合质量 量子力学也是如此！ 定态薛定谔方程 可变成 相对坐标 无耦合！ 能量(哈密顿量) 质心运动是质量为M的自由粒子的运动。 相对运动是质量为μ的粒子在外场中的运动。 ?1 x + r1 r2 r R ?2 O y z 第3节 氢原子 2、预备知识——三维问题转化为一维问题 定态薛定谔方程 折合质量 由于势能只是距离的函数—与方向无关=可分离变量 球坐标系中 其中 离心势能 3) 基态是s态 结论 1) 离心势能的引入—与经典力学非常类似 2) 3维可解（势能V(r)）? 1维可解（势能 ) 径向方程 角向方程 第3节 氢原子 氢原子问题 决定定态能量的方程是 简化 E0时为非束缚态——连续谱 考虑E0的束缚定态——分立谱 令 求容许能量转化为求容许n 势能: 本征函数: 第3节 氢原子 不满足波函数有限的要求 令 标准型的合流超几何方程 其2个独立解 都称为合流超几何函数 只有解F才可能满足波函数有限的条件 缔合拉盖尔(Laguerre)多项式 径量子数 第3节 氢原子 氢原子问题 波函数 E0 时为非束缚态——对应连续谱 E0—束缚态 能量 玻尔半径 径向波函数 归一化常数 主量子数