二无阻尼自由振动.docVIP

第二章 单自由度系统的自由振动 第一节 导引 单自由度系统（Single-Degree-Freedom systems）是最简单的振动系统，又是最基本的振动系统。这种系统在振动分析中的重要性，一方面在于很多实际问题都可以简化为单自由度系统来处理，从而可直接利用对这种系统的研究成果来解决问题；另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统的一些基本特性，实际上，它是对多自由度系统、连续系统进行振动分析的基础。 所研究的振动都是微幅振动问题（微振动）。所谓微振动是指系统受到外界干扰后，系统各个质点偏离静平衡位置，仅作微小的往复振动。系统在振动过程中所受到的各种力将认为只与位移、速度等成线性关系，可以忽略可能出现的高阶微小量。例如单摆，其运动微分方程为 把单摆作为线性系统研究，则令 故有 第二节 无阻尼自由振动的运动微分方程及其解 自由振动（free vibration）是指在外界干扰下依靠系统本身的弹性恢复力所维持的振动。 一、运动方程及其解 最简单的单自由度振动系统-----有一个质量和一根弹簧（弹簧的刚度系数为，它是弹簧每伸长或缩短一个单位长度所需施加的力，单位为）组成的弹簧质量系统。 弹簧原长为。当系统在没有振动时，系统处于平衡状态，称为静平衡。此时，系统在重力的作用下产生拉伸变形，称为系统的静变形。由静力平衡条件有 当系统受到外界某种初始扰动（例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或给质量块以突然一击使之得到一个初始速度），使系统的静平衡状态遭到破坏，则弹簧力不再与重力平衡，从而产生不平衡的弹性恢复力，系统就依靠这种弹性恢复力在其静平衡位置做往复运动，称为自由振动。 建立坐标系：取静平衡位置为坐标原点，用表示质量块由静平衡位置算起的垂直位移，且规定方向向下为正。质量块在振动过程中任一瞬时位置的受力： 不变的重力： 弹簧力 ： 根据牛顿运动定律，有 则有 （2-1） 单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程。 两点讨论： （1）质量块的重力只对弹簧的静变形有影响，即的大小只改变质量块的静平衡位置，而不影响质量块在静平衡位置附近作振动的规律。因此，当取静平衡位置为坐标原点建立运动微分方程时，在方程式（2-1）中就没有重力项，同时也没有由静变形引起的弹簧力这一项。 （2）方程式（2-1）中 称为弹性恢复力。它的大小和位移的大小成正比，方向始终与位移方向相反。因此，弹性恢复力的方向始终指向静平衡位置，这是弹性恢复力的一个特点。 令 则方程（2-1）可写为 （2-2） 其通解为 （2-3） 式中为任意常数它由初始条件时和来确定。 将初始条件代入方程中，得 （2-4） 它是由两个相同频率的简谐运动组成，称为系统对于初始条件为和的响应。经变换方程（2-4）该写为 （2-5） ----- 自由振动的振幅（amplitude），它表示质量块离开静平衡位置的最大位移。 ----- 初相位（initial phase）。 由上式可见，振幅和相位都取决于初始条件。这是自由振动的共同特点。 系统的固有圆频率（natural circular frequency） 系统的固有频率（natural frequency） 系统的固有周期（period） 固有频率和周期决定与系统本身的物理性质：质量和弹簧刚度，而与自由振动的初始条件无关。因此，一旦确定了系统的质量和弹簧刚度，则系统的固有频率就有一个确定的值。 固有频率是振动系统的一个重要参数，是进行振动分析或动态结构设计必不可少的参数。 注：方程（2-5）也可写成如下形式 例题1： 一卷扬机，通过钢索和滑轮吊挂重物（如图a所示）。重物重量W=147000N，以v=0.025m/s等速下降。如突然制动，钢索上端突然停止。这时钢索中的最大张力为多少？钢索弹簧常数为k=5782×103 N/m 。 (a) (b) (c) 注意：解题时各物理量的单位要统一。 解： 在正常工作时，重物以等速下降，系统处于静平衡状态，钢索的张力为 T1=kΔ=W=147000 N 由于钢索是一弹性体，系统可表示为图（b）的形式。 突然停止，把这一时刻作为事件的起点t=0，并以这一时刻重物静平衡的位置作为坐标原点，则系统可简化为图（c）的模型。系统的振动微分方程为 系统的固有频率为 施加于系统的初始条件为 代入 ，得 A=0.00128 (m) 则由振动引起钢索中的动张力为 T2=kA=7400.96 (N) 钢索中的最大张力为 T=T1+T2=154400.96 (N) 例题2： 有一弹簧-质量系统，如图所示。有一质量m从高度h处自由落下，落在质量m1上。假