- 1、本文档共7页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
二洛必达法则
第二节 洛必达法则
在第一章中,我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里,计算未定式的极限往往需要经过适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法,需视具体问题而定,属于特定的方法. 本节将用导数作为工具,给出计算未定式极限的一般方法,即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.
分布图示
★ 洛必达法则
★ 例1-2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6-7
综合应用 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 例11
★ 例12 ★ 例13 ★ 例14
★ 例15 ★ 例16
★ 例17 ★ 例18 ★ 例19
★ 例20 ★ 例21
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-2
返回
内容要点
一、型与型未定式
二、其它类型的未定式 (型,型,型)
(1) 对于型,可将乘积化为除的形式,即化为或型的未定式来计算.
(2) 对于型,可利用通分化为型的未定式来计算.
(3) 对于型,可先化以为底的指数函数的极限,再利用指数函数的连续性,化为直接求指数的极限,指数的极限为的形式,再化为或型的未定式来计算.
例题选讲
型
例1 (E01) 求
解 原式
例2 (E02) 求
解 原式
注: 上式中, 已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.
例3 (E03) 求
解
例4 (E04) 求 .
解
注: 若求为自然数)则可利用上面求出的函数极限,得
型
例5 (E05) 求
解
例6 (E06) 求 .
解 原式
例7 (E07) 求 (n为正整数, ).
解 反复应用洛必达法则次,得
原式
注:对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大,但它们增大的速度很不一样,其增大速度比较: 对数函数幂函数指数函数.
例8 求
解 注意到则有
注: 对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大, 但它们增大的速度很不一样, 幂函数增大的速度远比对数函数快,而指数函数增大的速度又远比幂函数快.
洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简,可以应用等价无穷小替换或重要极限时,应尽可能应用,以使运算尽可能简捷.
例9 (E08) 求
解 当时, 故
例10 (E09) 求 .
解 所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后,将化为此式振荡无极限,故洛必达法则失效,不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:
型,型,型
例11 (E10) 求 (型)
解 对于型,可将乘积化为除的形式,即化为或型的未定式来计算.
例12 (E11) 求 . (型)
解 对于型,可利用通分化为型的未定式来计算.
例13 求
解
例14 求
解 原式
直接用洛必达法则, 计算量较大. 为此作变量替换,
令则当时, 所以
型
步骤
例15 求
解
例16 (E12) 求 . ()
解 将它变形为
由于
故
例17 求
解
例18 (E13) 求
解
由于
所以
例19 求
解一 利用洛必达法则.
解二 利用两个重要极限.
例20 (E14) 求 . (型)
解
例21 求
解
因为
所以
课堂练习
设有一阶导数, 求
2. 设是未定式极限, 如果的极限不存在且不为, 是否的极限也一定不存在? 举例说明.
洛必达(L’ Hospital,1661~1704)简介:
洛必达(L’Hospital)是法国数学家,1661年生于巴黎,1704年2月2日卒于巴黎。
洛必达生于法国贵族家庭,他拥有圣梅特候爵,昂特尔芒伯爵称号。青年时期一度任骑兵军官,因眼睛近视自行告退,转向从事学术研究。
洛必达很早即显示出其数学的才华,15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题。
洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒,并且是约翰.伯努利的高足,成功地解答过约。伯努利提出的“最速降线”问题。他是法国科学院院士。
洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程--------《用于理解曲线的无穷小分析》。这部著作出版于1696年,后来多次修订再版,为在欧洲大陆,特别是在法国普及微积分起了重要作用。这本书追随欧几里得和阿基米德古典范例,以定义和公理为出发点,同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作,其经过是这样的:约翰.伯努利在1691-1692年间写了两篇关于微积分的短论,但未发表。不久以后,他答应为年轻的洛必达讲授微积分,定期领取薪金。作为答谢。他把自己的数学发
您可能关注的文档
- 二摩擦力和受力分析.doc
- 二摩擦和润滑.ppt
- 二成因概述.ppt
- 二技术经济学ppt.ppt
- 二教育与心理研究的基本过程.ppt
- 二教育与社会的发展.doc
- 二操作前的准备.doc
- 二教育研究方法.ppt
- 二文献的类型和识别.ppt
- 二斗式提升机.doc
- 青海省西宁市(新版)2024小学语文统编版(五四制)小升初真题(拓展卷)完整试卷(含答案).docx
- 陕西省咸阳市(新版)2024小学语文统编版(五四制)小升初真题(冲刺卷)完整试卷(含答案).docx
- 辽宁省鞍山市(新版)2024小学语文部编版小升初真题(培优卷)完整试卷(含答案).docx
- 陕西省商洛市(新版)2024小学语文统编版(五四制)小升初测试(自测卷)完整试卷(含答案).docx
- 陕西省商洛市(新版)2024小学语文统编版小升初摸底(培优卷)完整试卷(含答案).docx
- 辽宁省鞍山市(新版)2024小学语文统编版(五四制)小升初质量检测(冲刺卷)完整试卷(含答案).docx
- 辽宁省铁岭市(新版)2024小学语文苏教版小升初考试(自测卷)完整试卷(含答案).docx
- 辽宁省阜新市(新版)2024小学语文部编版小升初考试(冲刺卷)完整试卷(含答案).docx
- 陕西省咸阳市(新版)2024小学语文部编版小升初真题(备考卷)完整试卷(含答案).docx
- 陕西省咸阳市(新版)2024小学语文统编版小升初模拟(备考卷)完整试卷(含答案).docx
最近下载
- 办公用品订购合同范本.docx VIP
- WORD版本刻度尺-A4纸打印可用.doc
- 90nm逻辑产品Peeling缺陷的解决方案.pdf
- 神经系统的分级调节.pptx VIP
- 中建施工总平面布置图设计(69页).pdf
- 2024年公共卫生与预防医学继续教育平台“大学习”活动线上培训栏目考试题库(1392题).docx
- 北师大版(2023)必修第一册 Unit 2 Sports and Fitness单元教学设计.pdf VIP
- 2016-2023年长沙民政职业技术学院高职单招(英语/数学/语文)笔试历年参考题库含答案解析.docx
- 农业经济学-农业资金.ppt VIP
- 齐鲁医学神经系统疾病的辅助检查.ppt VIP
文档评论(0)