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第二章 航天器的轨道与轨道力学 “1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界的思想和习惯。” 2.1 航天器轨道的基本定律 如果说1642年的圣诞节迎来了理性的时代, 那么完全是由于有两个人为大约50年后牛顿最伟大的发现奠定了基础。一个是第谷·布拉赫, 他几十年如一日,极为细致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是约翰·开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用肩膀托起牛顿的“巨人”。 2.1.1 开普勒定律 1．第一定律——椭圆律 ??? 每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。 因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点，如图2．1所示。 2．第二定律——面积律 ?? 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的面积。 在图所示中，S1,S2,S3,S4,S5,S6,分别表示行星运行到t1,t2,t3,t4,t5,t6, 时刻的位置。如果从S1到S2的时间间隔和S3到S4 ， S5到S6的时间间隔相等，则矢径扫过的面积S1OS2, S3OS4, S5OS6也都相等，可表示为 dA/dt=常量 式中， dA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫做面积速度。 为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的路程 S1S2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行的路程S5S6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规律，叫做面积速度守恒。 3．第三定律——周期律 行星绕太阳公转的周期T的平方与椭圆轨道的长半径a的立方成正比。即 a3/T2=K 它说明，行星椭圆轨道的长半径越大，周期就越长，而且周期仅取决于长半径。 2.1.2 牛顿定律 第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运动的状态，除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状态。 第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作用力的方向相同。 第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的反作用。 万有引力定律： 任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。数学上可以用矢量形式把这一定律表示为 2.2 二体轨道力学和运动方程 2.2.1 N体问题 为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，在该坐标系内，n个质量的位置分别为 .此系统如图2.4所示。 由牛顿万有引力定律得出， 作用在 上的力 为 (2.5) 式中 (2.6)作用在第i个物体上的所有引力的矢量和 为 (2.7) 图2.4中所示的其他外力 ，包括阻力、推力、太阳辐射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第i个物体上的合力称为 ，其表达式为 (2.8) (2.9) 现在应用牛顿第二运动定律 (2.10) 把对时间的导数展开，得到 (2.11) 如前所述，物体可能不断排出某些质量以产生推力。在这种情况下，式(2.11)中的第二项就不等于零。某些与相对论有关的效应也会导致质量 随时间变化。式(2.11)各项除以 ，就得出第 i个物体的一般运动方程为 (2.12) 方程式(2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程，这