传播子和Feynman路径积分.pptVIP

2.5 传播子和Feynman路径积分 一、波动力学的传播子 时间无关的Haniltonian量体系的时间演化用与H对易的观测量的本征矢展开初态可方便求得： 或 其中， 将上述表达式改写成： 即 这里 称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。 讨论： 上式表明，若初态已知，则波函数的时间演化便完全由K确定。Schr?dinger波动力学是纯粹的因果理论。 受势作用的波函数的时间变化，只要系统不受扰动，便与经典力学中任何量一样完全确定。 不同处：当测量介入时，波函数以不可控制的方式突然变为所测观测量的本征函数之一（但“投影”有确定的几率）。 二、传播子的基本性质 1. 传播子 满足含时Schr?dinger波方程（ ,tt0为变量， 不变）。 2. （即 ） 这两性质说明传播子可看作是t0 时处于 的粒子在t时刻的波函数（ ） 对初态分布于一定空间的情况，需要做的只是将相应的波函数乘以传播子并对空间积分。这种方式相当于对不同位置的贡献求和，与静电学求电势相似（但有“相位”）： 传播子其实就是含时波动方程的格林函数： 和边界条件 （对tt0）. 第一式右边的δ函数是由于K在t=t0不连续 三、传播子的 例子 传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。 1. 一维自由粒子。P与H对易，共同本征态 由 可得 该式可用于研究诸如高斯波包随时间扩散展开的情形 2. 谐振子 的传播子 波函数为 其传播子为 该式的证明可通过特殊函数的性质 也可通过a和a+算符方法或将描述的路径积分方法。 由于传播子是以ω为角频率的时间周期函数，位于x’的粒子将在 回到原位置。 四、传播子的时间与空间积分 空间积分： 由于 ，取 并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹，故得上述结果。由于迹不随表象变，在 表象中H对角，便于求出G(t) 。 在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且 为正实数，则G(t)演化为 ，与统计力学的配分函数是有相同形式。因此，研究量子力学传播子的方法对统计力学也有用。 G(t)的Laplace-Fourier变换 五、传播子作为跃迁振幅 波函数是特定位置左矢与随时间变化右态矢的内积，也可被认为是Heisenberg图象中反向时间演化的位置左矢与不随时间变化的状态右矢之乘积。类似地，传播子可写为 这里 和 是海森堡图象中位置算符的本征左矢和右矢。 因 是从 到 态的跃迁振幅，故 是t0时处于 的粒子在t时处于 的几率振幅。或者说 是由时空点 到另一时空点 的振幅。 另类解释 由于Heisenberg图象中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢，我们也可称 为链接不同时间的两组基矢的变换函数。 因此，在Heisenberg图象中，时间演化可看作改变基函数的幺正变化。 与经典动力学中物理量随时间的变化可看作由经典Hamiltonian产生的正则变换相似。 六、传播子的组合性质 为使时空坐标记号更对称，记 为 由于海森堡图象中在任意给定时间的位置态矢形成完备基，可在任意位置插入单位算符 因而 该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。 类似地有 ： 如知无穷小时间间隔 的形式，则一般的 可利用传播子的组合性质而得。这种推