一类奇摄动边值问题的激波解.pdfVIP

第 43卷第 23期 数学的实践与认识 Vo1．43，No．23 2013年 12月 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Dec．，2013 一 类奇摄动边值问题的激波解 朱红宝，陈松林 (安徽工业大学 数理学院，安徽 马鞍山 43002) 摘 要：考虑了一个二阶奇摄动非线性边值问题，利用匹配展开法研究了该问题的 激波解，并证明了问题的激波解的一致有效性． 关键词：非线性；边值问题；匹配法；激波解 奇摄动非线性问题的激波解是近年来许多学者关注的一个热点问题，文献 1-81讨论了 多种非线性问题的激波解及其与边值的关系，莫 [。J等还讨论了当边值改变时，一类非线性奇 摄动问题的敏感性．本文考虑形如 EY+YY=g(x)y+f(x)y 的二阶非线性奇摄动问题，为方便讨论，我们取g(x)=T1，即我们研究下述两点边值问 题 ： ey+yyl_ y2+ ) ∈(o)1) (1) y(0)=-1 (2) y(11=1 (3) 其中 为正的小参数，0￡1． 假设： n【1]：函数 f(x)在区间 [0，1]上连续，且 1f(x) ， [H2】： dt1 上述问题 (1)一(3)的解在区间 (0，1)内部可能出现激波．下面讨论其激波解 1外部解与内部解 先求边值问题 (1)一(3)外部解，设其形式为 y(x，E)=∑ () ，将其代入方程 (1)，按 E 进行形式展开，并比较 ￡的零次幂，得： 珈() = + )珈() 得退化方程为：yo(x)=0和 tX) 珈()+ ) (4) 收稿日期：2012—03—28 226 数 学 的 实 践 与 认 识 43卷 只讨论形如 (4)的退化方程，因为yo(z)=0不能满足匹配条件，所以应舍弃 ． 考虑到边 界条件 (2)(3)，由(4)知问题 (1)一(3)的零阶外部解的可能形式为： ( d) 5() 和 (+2 dt) ㈣ 其中 6()只满足边界条件 (2)，缩()只满足边界条件(3)． 由假设 [H1] ‘ ) )_(1 (兰一o／ d)。 所以在区间 (0，1)内部可能出现激波． 下面讨论零次内部解，若问题 (1)一(3)在z ∈(0，1)处出现激波，我们需要把内部区域放 大，把解的变化展平，为此，在 z= 附近引入伸长变量变换 + IJ ∈=X--X* (7)