弹性力学问题有限单元的一般原理.pptVIP

平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成 单元刚度矩阵的转换 其中 n 为结点总数；i、j、m为单元结点码. 平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 结构刚度矩阵和结构结点荷载列阵的集成 单元等效结点荷载的转换 平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 结构刚度矩阵的特点 对称性 奇异性 稀疏性 非零元素呈带状分布（结点编号合理） 平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 引入位移边界条件 求解位移场的问题，需要引入消除刚体位移的边界条件。 直接代入法 将已知结点位移的自由度消去，得到修正方程，用以求解其他结点位移。 重新组合方程 待定结点位移 已知结点位移 为相应的刚度、荷载矩阵的分块矩阵. 平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 引入位移边界条件 直接代入法 已知 重组方程后，将已知项和未知项分别移置到方程的右边和左边。 重组的方程阶数低了，但是结点位移的顺序已被破坏，导致程序编制困难。 平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 引入位移边界条件 给定位移值为零时，在 K 中将与零结点位移相对应的行列中，将主对角元素改为1，其他元素改为0；在荷载列阵中将与零结点位移相对应的元素改为0。 对角元素改 1 法 （不改变方程阶数和结点编号顺序，适用于位移为零） 平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 引入位移边界条件 对角元素乘大数法 结点位移为给定值 时，第 j 个方程作如下改动：对角元素 中乘以大数 ? （ 左右量级），并将 用 取代。 平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 引入位移边界条件 对角元素乘大数法 修改后第 j 个方程 对于任意给定位移均适用，这种方法不改变方程的阶数和结点位移顺序，程序编制方便。 广义坐标有限单元法的一般格式 选择单元位移函数的一般原则 位移模式 以广义坐标 ? 为待定参数的有限项多项式作为近似函数 广义坐标个数与结点自由数相等 有限项多项式选取的一般原则 4 4 8 8 4结点矩形 3 3 6 6 3结点三角形 v多项式 u多项式 广义坐标 结点自由数 单元 常数项和坐标的一次项必须完备 常数项和一次项反映单元刚体位移和常应变的特性，单元缩小于一点时，单元应变趋于常应变。位移模式能描述由于其他单元变形而通过结点位移引起单元刚体位移。 广义坐标有限单元法的一般格式 选择单元位移函数的一般原则 位移模式 以广义坐标 ? 为待定参数的有限项多项式作为近似函数 多项式选取应由低阶到高阶，尽量取完全多项式以提高精度 有限项多项式选取的一般原则 保证二次完全 6结点三角形 8结点矩形 20结点六面体 3个结点 保证一次完全 3结点三角形 4结点矩形 8结点六面体 2个结点 多项式 单元 单元边 广义坐标有限单元法的一般格式 广义坐标有限元的一般格式 以广义坐标 ? 表示单元内位移 u 2 D 问题 三角形常应变单元 广义坐标有限单元法的一般格式 广义坐标有限元的一般格式 以单元结点位移表示广义坐标 ? 结点位移重写成 三角形常应变单元 广义坐标有限单元法的一般格式 广义坐标有限元的一般格式 以单元结点位移表示单元位移函数u 三角形常应变单元 广义坐标有限单元法的一般格式 广义坐标有限元的一般格式 以单元结点位移表示单元应力和应变 三角形常应变单元 有初应力 和初应变 时 广义坐标有限单元法的一般格式 广义坐标有限元的一般格式 利用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程 系统总位能的离散形式 广义坐标有限单元法的一般格式 广义坐标有限元的一般格式 利用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程 其中 是结点集中力列阵 广义坐标有限单元法的一般格式 广义坐标有限元的一般格式 引入强制边界条件 解方程得到结点位移 辅助计算 困难 位移函数选择不当时， 可能不存在 结点较多时，解广义坐标比较繁琐。 利用自然坐标构造单元的插值函数 有限元解的性质和收敛性 有限元解的收敛准则 准则 1 完备性要求 如果在泛函中场函数的最高阶导数 m 为，则有限元解的收敛条件之一是单元内场函数的试函数至少是 m 次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至 m 阶导数为常数的项。 待求标量场函数的微分方程 相应泛函 准则 2 协调性要求 如果在泛函中场函数的最高阶导数 m 为，则试函数在单元交界面上必须具有 Cm-1 连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至 m-1 阶的连续导数。 矩形单元和高精度三角形单元 4 结点矩形单元 单元有 8 个结点自由度 相邻单元的边界公共点上有共同的结点位移值，因此位移在公共边界的连续性。这种位移模式是完备、协调的。 u1 v1 a a