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第五章 杆件与结构的内力计算 第一节 轴向拉压杆的内力 轴力图 第二节 扭转杆的内力 扭矩图 第三节 单跨静定梁内力 第四节 多单跨静定梁内力 第五节 静定平面刚架的内力 教学重点 内力、截面法、应力和强度的概念； 轴力的计算和轴力图的画法； 扭矩的计算和扭矩图的画法； 截面法求指定截面上的内力； 叠加法作弯矩图； 多跨静定梁和静定平面刚架内力计算。 教学难点 截面法求解内力； 轴力图、扭矩图的画法； 叠加法画梁的弯矩图； 求多跨静定梁的内力及绘制剪力图、弯矩图。 第一节 轴向拉压杆的内力 轴力图 一、内力、截面法和应力的概念 1.内力 杆件在外力作用下而产生变形，其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用，这种作用称为附加内力，简称内力。 N 例5-1 设一直杆AB 沿轴向受力如图示。已知P1=2kN,P2=3kN,P3=1kN, 试求杆各段的轴力。 计算轴力时应注意： 计算杆件某一段轴力时，不能在外力作用点处截开。 通常截面上的轴力先假设为正，当计算结果为正时，既说明假设方向正确，也说明轴力为拉力；若计算结果为负时，既说明与假设方向相反，也说明轴力为压力。 由以上例题可以得出结论： （1）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与坐标系相一致。 （2）计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计算简便为原则。 （3）集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩相同。 （4）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但弯矩不同。 2.剪力图和弯矩图 取横坐标代表截面的位置，纵坐标表示各个横截面的剪力和弯矩的数值，表示剪力和弯矩随截面位置变化而改变的图形称为剪力图和弯矩图。 规定：土建工程中习惯上把正的剪力画在轴的上方，负的剪力画在轴的下方； 弯矩图规定把正的弯矩画在轴的下方。 例5－6简支梁受力如图所示，试求1－1截面的剪力和弯矩。 问题研讨 （1）用截面法计算内力的规律 梁上任一横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力的代数和； 梁上任一横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。 问题研讨 （2）关于剪力和弯矩的符号问题 为计算方便，通常将未知内力的方向都假设为内力的正方向。 当平衡方程解得内力为正号时表示实际方向与所设方向一致，即内力为正值； 解得内力为负号时，表示实际方向与所设方向相反，即内力为负值。 例5－8 悬臂梁在自由端受集中力作用如图4－7所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程、画出剪力图和弯矩图，并确定梁的最大剪力和最大弯矩。 例5－10 简支梁受集中力作用如图4－8所示，求梁的剪力方程和弯矩方程，画出Q、M图并确定最大剪力和最大弯矩。 例5－12简支梁受均布荷载作用如图4－9所示，求梁的剪力方程和弯矩方程，画Q、M图，确定最大剪力和弯矩。 （1）任一截面上的剪力和弯矩始终假定为正向。这样由平衡方程所得结果的正负号就与正负号规定相一致。 （2）截面位置参数可以都从坐标原点算起，也可以从另外的点算起，仅需写清方程的适用范围即可。 （3）方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，剪力方程应为开区间，因在此处剪力图有突变；在集中力偶作用处，弯矩方程应为开区间，因在此处弯矩方程有突变。 （4）若所得方程为x的二次或二次以上方程，则在作图时除计算该段的端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。 例5-14 运用简捷作图法绘制梁的剪力图和弯矩图 （3）作弯矩图 叠加法绘制弯矩图简介 叠加原理——在线弹性、小变形条件下，由几种荷载共同作用所引起的某一参数（反力、内力、应力、变形）等于各种荷载单独作用时引起的该参数值的代数和。 叠加法画弯矩图的步骤是： （1）将作用在梁上的复杂荷载分成几组简单荷载，分别画出梁在各简单荷载作用下的弯矩图。 （2）在梁上每一控制截面处，将各简单荷载弯矩图相应的纵坐标代数相加，就得到梁在复杂荷载作用下的弯矩图。 II 单跨梁在简单荷载作用下的弯矩图 小结 1.梁弯曲时横截面上有两种内力：剪力和弯矩。 确定横截面上剪力和弯矩的基本方法是截面法。在掌握这一方法的基础上，也可以直接利用外力确定剪力和弯矩。 微段左上右下，剪力为正；微段上凹下凸，弯矩为正。 2.本章主要介绍了三种作剪力图和弯矩图的方法： （1）根据剪力方程和弯矩方程作图； （2）用叠加法作图； （3）用载荷集度、剪力和弯矩三者之间的微分关系作图。其中，用剪力方程和弯矩方程作图是最基本的方法，要重点掌握。 3.作剪力图和弯矩图的基本方法，可分为以下几个步骤： （1）根据平衡条件求支座反力； （2）在集中力（包括支座反力）、集中力偶作用处，或