材料力学杆件变形分析.pptVIP

（2）列出挠曲线近似微分方程并积分。 由于弯矩方程在C处分段，故应对AC段及CB段分别计算。 AC段（0≤x≤a） 积分 CB段（a≤x≤l） 其中，C1、D1、C2、D2为积分常数。 （3）确定积分常数。四个积分常数，应找出四个边界条件。在A、B支座处，梁的挠度为零，在C处是连续和光滑的，因此在其左、右两侧挠度和转角应相等，即 边界条件为 C处的光滑条件为 C处的连续条件为 代入边界条件及连续光滑条件可求得 则转角方程和挠曲线方程分别为 （4）确定qmax和wmax 最大转角：A、B两端的截面转角为 若ab，则qBqA，可以断定qB为最大转角 最大挠度：由上面计算可知A截面的转角qA为负，可以求得C截面的转角为 如果ab，则qC0，可见从截面A到截面C，转角由负到正，而挠曲线为光滑连续曲线，则q=0的截面必然在AC段内。令AC段转角等于零，可得 x0即为挠度最大值的截面的位置。 将x0代入AC段挠度计算公式，可求得最大挠度为 当集中力F作用于跨度中点时，显然最大挠度发生在跨度中点，这也可由挠曲线的对称性直接看出。 另一种极端情况是集中力无限靠近于杆端支座，如靠近右端支座，此时 ，所以有 最大挠度为 可见即使在这种情况下，发生最大挠度的截面仍然在跨度中点附近。也就是说，挠度为最大值的截面总是靠近跨度中点，所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度。 可以通过AC段挠度计算公式，令x=l/2，求得跨中的挠度为 在极端情况下，集中力无限靠近B端，则 这时用中点挠度代替最大挠度所引起的误差为 可见在简支梁中，只要挠曲线上无拐点，可用跨度中点挠度来代替其最大挠度，并且不会引起太大的误差。 第四节 叠加法求梁弯曲变形 用积分法求梁弯曲变形，在弯矩方程分段较多时，由于每段均出现两个积分常数，运算较为烦琐，所以工程中发展出许多简化的计算方法，叠加法便是其中的一种。 1、载荷叠加法 在线弹性、小变形的前提下，挠曲线近似微分方程为线性微分方程，而弯矩又与载荷成线性齐次关系，因此，当梁上同时作用几个载荷时，挠曲线近似微分方程的解，必等于各载荷单独作用时挠曲线近似微分方程的解的线性组合，而由此求得的挠度与转角也一定与载荷成线性齐次关系。 变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，而且应力不超过材料的比例极限，即可利用叠加法计算梁的位移。只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，然后将其相加，便可得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的载荷叠加法。 * * 中北大学理学院力学系 第四章 杆件变形分析 第一节 杆件轴向拉压变形 第二节 圆轴扭转变形 第三节 积分法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形 第四节 提高梁弯曲刚度的措施 总结与讨论 杆件在载荷作用下都将发生变形（deformation）。在有些结构或实际工程中，杆件发生过大的变形将影响杆件或结构的正常使用，必须对杆件的变形加以限制，如工程中使用的传动轴、车床主轴等变形过大会造成机器不能正常工作；而有些结构又需要杆件有较大的变形，如汽车上所使用的叠板弹簧，只有当弹簧有较大变形时，才能起缓冲作用。在结构的设计中，无论是限制杆件的变形，还是利用杆件的变形，都必须掌握计算杆件变形的方法。本章将具体讨论杆件轴向拉伸（或压缩）、圆轴扭转和弯曲三种情况下的杆件变形。研究杆件变形的目的，一方面是为了分析杆件的刚度问题，另一方面则是为了求解超静定问题。 第一节 杆件轴向拉压变形 当杆件承受轴向载荷时，其轴向尺寸和横向尺寸均发生变化，杆件沿轴线方向的变形，称为轴向变形（axial deformation）；垂直于轴线方向的变形，称为横向变形（lateral deformation）。 1．拉压杆的轴向变形与胡克定律 实验表明，杆件受拉时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小，杆件受压时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。设拉压杆的横截面的面积为A，原长为l，在轴向拉力F 作用下产生变形，如图4-1所示， 变形后杆长为l1， 则杆在轴线方向的 伸长量为 Δl是杆件长度尺寸的绝对改变量，称为绝对变形，表示整个杆件沿轴线方向总的变形量，绝对变形不能说明杆件的变形程度。要度量杆件变形程度的大小，必须消除杆件原有尺寸的影响，杆件均匀变形时杆件沿轴线方向的相对变形，即轴向线应变（axial strain）为 其中ε为杆件轴线方向的线应变，是无量纲量，拉伸时为正，压缩时为负。 实验表明，对于工程中的大部分材料，当杆内应力在一定范围（比例极限）内时，杆的变形量与外力和杆的原长成正比，与杆的横截面面积成