概率论期末考试十九讲极大似然估计法.pptVIP

都是总体参数? 的无偏估计量, 且 则称 比 更有效. 定义 设 有效性 所以, 比 更有效. 是? 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？ 由例4可知, 与 都 为常数 例5 设总体 X 的密度函数为 解 ， 例6 设总体 X，且 E( X )=? , D( X )=? 2 为总体 X 的一个样本 证明 是 ? 的无偏估计量 (2) 证明 比 更有效 证 (1) (1) 设常数 (2) 结论 算术均值比加权均值更有效. 而 例如 X ~ N( ? ,? 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本. 都是? 的无偏估计量 由例6(2) 知 最有效. 定义 设 是总体参数? 则称 是总体参数? 的一致(或相合)估计量. 的估计量. 若对于任意的? ? ? , 当n? ?时, 一致性 依概率收敛于? , 即 一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性. 一致 关于一致性的两个常用结论 1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量. 是? 的一致估计量. 由大数定律证明 用切贝雪夫不 等式证明 矩法得到的估计量一般为一致估计量 在一定条件下, 极大似然估计具有一致性 2. 设 是 ? 的无偏估计 量, 且 , 则 例8 为常数 则 是? 的无偏、有效、一致估计量. 证 由例7 知 是? 的无偏、有效估计量. 所以 是 ? 的一致估计量, 证毕. 作业 P.192-193 习题六 9 11 习题 教学目的 1.讲解极大似然估计法； 2.讲解评价估计量优劣的三个标准。 教学内容： 第六章，§ 6.1-2；§ 6.2。。 第十九讲 极大似然估计法、 估计量优劣的标准 极大似然估计法 思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球 现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球. 答: 第一箱. 问: 所取的球来自哪一箱？ 例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值. 解 总体 X 的概率分布为 设 x1, x2,…, xn为总体样本X1, X2,…, Xn 的样本值, 则 对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图 现经过一次试验， 发生了， 事件 则 p 的取值应使这个事件发生 的概率最大. 在容许范围内选择 p ，使L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若 某个p 使ln L(p)最大, 则这个p 必使L(p)最大。 所以 为所求 p 的估计值. 一般, 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为 则样本 X1, X2,…, Xn的概率分布为 或 称 L( ) 为样本的似然函数 称这样得到的 为参数 ? 的极大似然估计值 称统计量 为参数 ? 的极大似然估计量 选择适当的? = ,使 取最大值, 即 L( ) 极大似然法的思想 简记 简记 若 X 连续, 取 f (xi,? )为Xi 的密度函数 似然函数为 注1 注2 未知参数可以不止一个, 如?1,…, ?k 设X 的密度(或分布)为 则定义似然函数为 若 关于?1, …, ?k可微,则称 为似然方程组 若对于某组给定的样本值 x1, x2,…, xn， 参数 使似然函数取得最大值, 即 则称 为?1,…, ?k 的极大似然估计值 显然， 称统计量 为?1, ?2,…, ?k 的极大似然估计量 例7 设总体 X ~ N (?,? 2), x1, x2,…, xn 是 X 的样本值, 求 ?, ? 2 的极大似然估计. 解 ?, ? 2 的极大似然估计量分别为 似然 方程 组为 极大似然估计方法 1） 写出似然函数 L 2）求出 , 使得 可得未知参数的极大似然估计值 然后, 再求得极大似然估计量. L是 的可微函数,解似然方程组 若 L不是 的可微函数, 需用其它 方法求极