理论力学经典课件拉格朗方程.pptVIP

O A C k 例 题 7 质量为m1、半径为 r 的均质圆轮在水平面上纯滚，轮心与刚性系数为k 的弹簧相连。均质杆AB长度为l ，质量为m2 。 求：系统的运动微分方程。 解：1、系统的约束为完整约束， 主动力为有势力。 2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x, ?), x 坐标的原点取在弹簧原长处。 ? x x y O A C k ? x x y 3、计算系统的动能： 速度vC的确定 系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成： O A C k ? x x y 拉格朗日函数 4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 * * 动力学普遍方程 和拉格朗日方程 ※ 引 言 ※ 动力学普遍方程 ※ 拉格朗日方程 ※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论 ? 经典动力学的两个发展方面 ? 拓宽研究领域 矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学 牛顿运动定律由单个自由质点 ★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础) 欧拉将牛顿运动定律 ★ 刚体和理想流体 ? 寻求新的表达形式 将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学 ★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学 考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有 主动力 约束力 惯性力 令系统有任意一组虚位移 系统的总虚功为 §18-1 动力学普遍方程 系统的总虚功为 利用理想约束条件 得到 —— 动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的 主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和 等于零。 动力学普遍方程的直角坐标形式 动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。 ?动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问 题，即：已知主动力求系统的运动规律。 ? 应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。 ? 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 ? 应用 动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。 动力学普遍方程的应用 例 题 1 已知： m ，R, f ， ? 。 求：圆盘纯滚时质心的加速度。 ? C mg ? aC FIR MIC ?x 解：1、分析运动，施加惯性力 2、本系统有一个自由度， 令其有一虚位移 ?x。 3、应用动力学普遍方程 其中： 例 题 2 离心调速器 已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； ?－ O1 y1轴的旋转角速度。 求： ?－ ? 的关系。 ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 解： 不考虑摩擦力，这一系统 的约束为理想约束；系统具有一 个自由度。取广义坐标 q = ? 1、分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。 球A、B的惯性力为 FIB FIA m1g m2g m1g ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 FIB FIA m1g m2g m1g ?rC ?? ?rB ?rA 2、令系统有一虚位移??。A、B、C 三处的虚位移分别为?rA、?rB、 ?rC 。 3、应用动力学普遍方程 根据几何关系，有 ? B A C l l l l ? ? O1 x1 y1 FIB FIA m1g m2g m1g ?rC ?? ?rB ?rA 3、应用动力学普遍方程 x O y C2 D 求：1、三棱柱后退的加速度a1； 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 C1 A C B ? 例题3 质量为m1的三棱柱ABC 通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为?2。 a1 ae ar ?2 x O y C2 D C1 A C B ? a1 ?2 m1g m2 g FI1 FI 2 e FI 2 r MI2 ae ar 解：2、施加惯性力 解：3、确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组