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第七章 量子力学中的力学量 * * 第1节 表示力学量的算符 上一章解决了问题：如何求出一个系统的波函数（写出哈密顿算符，求解其本征方程——薛定谔方程，本征函数即为波函数）。 已知波函数，如何求得对应的力学量的值？ 一，本征值方程： 算符：作用在一个函数上得到另一个函数得运算符号。 如：某个操作（运算）把函数u→v，可以写成： 对任一算符，都可以写出： ——本征值方程 λ——本征值，ψ——本征函数。 一般力学量的算符： 二：力学量的算符 前面已知的算符例子： 动量算符 能量算符 自由粒子的能量算符，或动能算符 哈密顿算符 1，利用自由粒子的波函数得到动量和能量算符，再设坐标算符就是坐标本身； 2，力学量的其他算符，可以由其经典形式得出：设力学量F，其经典表达式为 F = F (r, p)，则对应算符为 角动量算符 经典力学中，动量为p，坐标r的粒子，绕坐标原点O的角动量：L = r × p，则量子力学中，对应的角动量算符为： （注意区别其中i，分别表示虚数单位和x方向单位矢量） 考虑总角动量与分量之间的关系： 等等。 经典力学中没有，而量子力学中特有的力学量（例如自旋），则通过另外的方法引入。 三：算符的一般性质和运算规则 1：算符的和： 称为算符的和。 交换律： 加法结合律： 2：算符的积： 一般不满足交换律： 例如： 即： 交换后不相等。 3：算符的对易式： 定义对易式： 则2中的结果可以表示成： 同样： 而： 一般情况写成： ——量子力学的基本对易式 其中 ——离散Dirac函数 四：算符和力学量之间的关系： 前面已经求解了两个定态问题（一维无限深势阱和一维线性谐振子），其共同特征是求解定态薛定谔方程： 一维无限深势阱： 一维线性谐振子： 量子力学认为：当体系处于哈密顿算符的本征态ψn时，算符所对应的本征值E有确定值En。由此总结出下面的假定（量子力学的基本假设之一）： （思考）如果体系状态不是该力学量算符的本征态，那么力学量的值应该是多少？ 五：厄密算符： 1，厄密算符的本征值是实数： 定义：如果对于任意两个函数ψ和φ，有算符满足等式 则称为厄密算符。积分范围是所有变量变化的整个区域。 证明：由于ψ和φ的任意性，可以取 φ = ψ ，且为厄密算符的本征函数，对应的本征值为λ，则上面的式子左边为： 而右边为： 即： 可知 λ 为实数。 说明：1)，厄密算符的本征值为实数； 2)，表示力学量的算符为厄密算符，才能使对应的本征值（即力学量的值）为实数。 2，厄密算符的属于不同本征值的本征函数相互正交： 1)，正交性：如果两个不同的函数 ψ1 和 ψ2 满足关系式： 称 ψ1 和 ψ2 相互正交。式中的积分是对变量变化的全部区域进行的。 2)，厄密算符的本征函数之间相互正交。 证明：设厄密算符 F，其本征值为 λ1 ，λ2 ，…，λn ，…，且都不相等，对应的本征函数为φ1 ，φ2 ，…，φn ，…，任意取两个本征方程： 则有： 厄密算符的定义式： 左边： 右边： 即： 由于通常 φk 还是归一化的，即： 所以上面的结论可以写成： ——本征函数的正交归一化条件。 如果算符的本征值组成连续谱，则上述条件可以写成： 满足上述正交归一化条件的函数系 φk （分立谱）或 φλ （连续谱）称为正交归一系。 第2节 动量算符和角动量算符 本节介绍常见的力学量：动量和角动量算符的一些性质。 一：动量算符： 三维： 一维： 本征方程： 1，本征值px为任意实数，连续谱。 2，本征函数ψ(x)不能按照通常的方法归一化，下式不成立： 此类波函数可使用周期性边界条件，进行箱归一化。 二：角动量算符： 1：角动量算符的形式： 量子力学中的角动量算符表示为： 其分量形式为： 等等。 角动量平方算符： 2：球坐标系中的角动量算符： 用球坐标系，则： 则角动量z分量和平方算符在球坐标系中可以写成： 3：角动量平方以及z分量算符的本征值和本征函数： 角动量平方算符的本征方程为： 数学物理方法里面介绍，此方程的本征值为 λ?2，其中 本征函数为球函数（球谐函数）Y(θ,φ)，其形式为： ——缔合勒让德多项式 ——归一化系数 说明： 1，每个 l 对应一个不同的本征值 λ?2 = l (l+1) ?2，其中 l 称为角量子数。 2，每个本征值 l (l+1) ?2 对应 2l+1 个不同的本征函数Ylm(θ,φ)，其中m= -l, ..., 0, 1, 2, ..., l，共有 2l+1 个不同的取值。其中m称为磁量子数。 3，多个本征函数对应于一个本征值的情形——简并。一个本征值所对应的本征函数数目——简并度。角动量平方算符本征值的简并度为2l+1。（本征值对应着能量，本征函数对应状态，则相当于同一个能级上有多个不同的状态。） 角动量z分量算符，其本