2010浙江省高等数学(微积分)竞赛试题.doc

2010浙江省大学生高等数学 （微积分）竞赛试题 （数学类） 一、计算题（每小题14分，满分70分） 1．求极限 2．计算． 其中 3．请用描述圆 落在椭圆 内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。 4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求其中的方向成右手系。 5．设连续，满足且,求的值。 二、（满分20）定义数列如下： ，求。 三、（满分20分）设函数，且，，证明：。 四、（满分20分）设非负函数f在［0，1］上满足且，证明：（1） （2） 五、（满分20分）设全体正整数集合为，若集合对加法封闭（即），且G内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N，当正整数nN时， （工科类） 一、计算题（每小题14分，满分70分） 1．求极限 2．计算 3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。 4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：上，设在上围成的面积为A,求,其中的方向成右手系。 5．设连续，满足,求的值。二、（满分20分）定义数列如下： ，求。 三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线 向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r (t) 随时间改变，有，求在时间段内圆盘所扫过的空间体积。 四、（满分20）证明：当， 五、（满分20分）证明： （经管类） 一、计算题（每小题14分，满分70分） 1．求极限 2．求不定积分 3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。 4．设为小于等于的最大整数，，求 5．设连续，满足,求。 二、（满分20分）设有一个等边三角形，内部放满n排半径相同的圆， 彼此相切（如图为n = 4的情形），记A为等边三角 形的面积，为n排圆的面积之和，求. 三、（满分20分）设，其中P ( x ) 为 5次多项式，证明：（1）f (x) 必有极值点； （2）f (x) 必有奇数个极值点。 四、（满分20分）证明：当， 五、（满分20分）定义数列如下： ，求。 （文专类） 一计算题：（每小题14分，满分70分） 1．已知 ，求。 2．求不定积分。 3．请用描述圆 落在椭圆 内的充分必要条件。 4．求曲线与直线所围成的平面区域绕轴旋转一周所得的旋转体体积Ｖ。 5．设连续，满足,求。 二、（满分20分）设有一个等边三角形，内部放满n排 半径相同的圆，彼此相切（如图为n = 4的情形），记 A为等边三角形的面积，为n排圆的面积之和， 求。 三、（满分20分）计算。 四、（满分20）定义数列如下： ，求. 五、（满分20分）设，证明： （1）f (x) 必有极值点； （2）f (x) 必有奇数个极值点。 第 1 页 共 4 页