D7_1二重积分概念.ppt

第七章 第一节 一、引例 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 二重积分存在定理: 三、二重积分的性质 例1. 估计下列积分之值 例2. 比较下列积分的大小: * * 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 三、重积分的性质 一、引例 二、重积分的定义 重积分的概念与性质 第七章 解法: 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 4)“取极限” 令 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小块 . 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 . 在D上的二重积分, 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, 元素d?也常记作 二重积分记作 这时 分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 若函数 (证明略) 定理1. 在D上可积. 在有界闭区域 D上连续, 则 则 3. 若在D上 5. 设 D 的面积为? , 则有 4.若函数 f(x,y) 在D上可积，则| f(x,y) | 在D上可积，且 6.(二重积分的中值定理) 证: 由性质5 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 其中D为圆形区域 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线 从而 而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 * *