同济大学线性代数课件__第一章.ppt

第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列与逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §5 行列式的性质 §6 行列式按行（列）展开 §7 Cramer 法则 (3) 一般情形, 考虑第 i 行 例 或者 那么 推论：行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即 综上，得公式 例12: 证明范德蒙德( Vandermonde )行列式 证明：用数学归纳法 (1) 当 n = 2 时, (2) 设 n－1 阶范德蒙德行列式成立, 则 = 有 个因子! 例： 例： 设 求 解: 例： D 按第4列展开，然后各列的提出公因子 = 例： D 例： D Cramer法则： 如果线性方程组 的系数行列式不等于零， (4) 副对角行列式 行列式的等价定义 称 DT 为 D 的转置行列式。 设 则 D 经过“行列互换”变为 DT 性质1：行列式与它的转置行列式相等。 证明：设 则 由行列式定义 性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。 互换 s、t 两行： 互换 s、t 两列： “运算性质” 推论：若行列式有两行（列）相同， 则行列式为 0 。 性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 “运算性质” 用 k 乘第 i 行： 用 k 乘第 i 列： 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。 性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。 性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。 性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。 用数 k 乘第 t 行加到第 s 行上： 用数 k 乘第 t 列加到第 s 列上： “运算性质” 利用行列式性质计算： （化为三角形行列式） 例1：计算 例2：计算 “行等和”行列式 例10：设 证明： 0 证明：利用行的运算性质 r 把 化成下三角形， 再利用列的运算性质 c 把 化成下三角形， 对 D 的前 k 行作运算 r，后 n 列作运算 c, 则有 例 问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式来计算？ 对于三阶行列式，容易验证： 定义1：在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行 和第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫 的余子式, 记为 称为 (i, j)元素 的代数余子式。 做 (i, j) 元素 , 同时 例如： 考虑( 2, 3) 元素 ( 2, 3)元素的余子式 ( 2, 3)元素的代数余子式 定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。 (1) 利用上一节例10的结论有 (2) 设 D 的第 i 行除了 把 D 转化为 (1) 的情形 外都是 0 。 先把 D 的第 i 行依次与第 i –1行, 第 i –2行, ···, 第 1 行交换, 经过 i –1次行交换后得 再把 第 j 列依次与第 j–1列, 第 j–2列, ···, 第 1 列交换, 经过 j–1次列交换后得 * * * * * * * * 1. 二阶行列式 二元线性方程组 当 时，方程组有唯一解 用消元法 得 记 则有 于是 二阶行列式，记作 也称为方程组的系数行列式。 行标 列标 (1,2) 元素 对角线法则: 主对角线 副对角线 例. 解方程组 解： 2. 三阶行列式 类似地，讨论三元线性方程组 为三阶行列式, 记作 称 对角线法则： 例： 定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。 把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。 P3 = 3×2×1 = 6 例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 = 6种，即 一般地，Pn= n·(n-1)·…·3·2·1= n! P3 = 3×2×1 = 6 标准次序：标号由小到大的排列。 定义2： 在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。 一个排列的逆序数的计算方法： 设 p1 p2 … pn 是 1，2，…，n 的一个排列，