大学物理力学刚体力学-3(中国石油大学北京).ppt

v d L L d = sin q Q d dt = W Q 令 则 M d L dt L d dt = = v sin q Q L = sin q W \ = = μ W M L M J sin sin q w q w 1 即： w - ? ˉ W ， 当 时， q w = ° = 90 W M J 。 陀螺的进动 以上只是近似讨论，因为当进动发生后： 只有高速自转 w W 时 当考虑到 对 的贡献时， 自转轴在旋进时还会出现 微小的上下周期摆动， 这种运动叫章动 (nutation)。 才有 及 进动应用实例 子弹在发射时高速旋转，并沿着阻力方向进动以避免弹头翻转。 微观粒子的进动：微观粒子具有轨道和自旋角动量，在外磁场产生的力矩作用下，以磁场方向为轴作进动。——可以解释物质的抗磁性。 一般来说，总的效果是陀螺的重心保持在低于起始点的水平上，由此释放出的势能提供了旋进和章动所需的动能。 作业题 P287: 5.13，5.19 §5-4 刚体定轴转动的动能与动能定理 一、刚体定轴转动的动能 刚体定轴转动的动能应为刚体上所有质元的动能之和为： 刚体定轴转动的动能： 质点平动的动能： 二、力矩的功 上式称为力矩的功。 力矩作功就等于产生该力矩的力作的功，是功的角量表达式。 x O P ? ? d? 三、刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的效果来解释。 设当刚体的角坐标为?1和?2时，对应的角速度分别为?1和?2，则有： 上式即为： 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体定轴转动的动能的增量。 定轴转动的动能定理 例1. 一根长L ，质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑轴o，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在水平位置。 求：细棒由水平位置下摆θ 角时的角速度。 o L θ 解： 规定细棒顺时针转动的方向 为正方向，重力矩为 由上节细棒只受重力矩作用 用刚体定轴转动动能定理 细棒由水平位置下摆θ 角， 重力矩做的功 由刚体定轴转动的动能定理 o L θ o L θ 例2. 有一长为L ，质量为 m 的均匀细棒， 静止放在水平桌面上，它可以绕着过其端点o， 且与桌面垂直的固定光滑轴转动， 细棒与桌面的滑动摩擦系数为 μ ， o L ω0 解： 细棒作定轴转动， 之所以停下来是 由于受到阻力矩的作用， 阻力矩是由谁产生的？ 重力，支持力，摩擦力 摩擦力力矩如何计算？ 现给细棒一初角速度ω0 ， 求：细棒停止运动所转过的角度。 o L ω0 dx x 摩擦力力矩如何计算？ 细棒与平面接触的各处都受 摩擦力，需要用积分法来计算 在细棒上距轴 x 处取一长为dx 质元 该质元所受摩擦力为 对轴o 的力臂为 方向垂直棒长方向 质元 dm所受摩擦力力矩 o L ω0 dx x 整个细棒所受摩擦力力矩 与时间无关的恒力矩 o L ω0 dx x 与时间无关的恒力矩 由刚体定轴转动的动能定理 o L ω0 思考题？ 绕着过其中点o，且与桌面垂直的固定光滑轴转动 现给细棒一初角速度ω0 ， 求：细棒停止运动所转过的角度。 o ● 四、刚体的重力势能 h hi hc x O m C ?m 一个质元： 整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的重力势能。 对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。 五、含刚体系统的机械能守恒 特别提醒注意：对于绕定轴转动的刚体，不能再使用动量 P = mv，必须使用角动量 L =J? ； 动能不再是 , 必须用： 例3. 一根长L ，质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑轴o，细棒可以在竖直平面内转动，最初细棒静止在水平位置。 求：细棒由水平位置下摆θ 角时的角速度。 o L θ 解二： 规定细棒在水平位置时的 重力势能为零 细棒运动过程中只有重力做功 系统机械能守恒 o L θ 用机械能守恒定律 细棒由水平位置下摆θ 角时， 重力势能为 ● 由机械能守恒定律 初始状态系统机械能 末了状态系统机械能 o L θ ● 例4 、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。 解：据机械能守恒定律： 上次的例题用机械能守恒另解如下： 例5 .已知：均匀直杆 m ，长为 l ，初始水平静止，轴光滑， AO l = 4 。 求 : 杆下摆 q 角后，角速度 w