导数的概念和应用(教师).doc

导数的概念和应用 考点1 导数的概念 例1． 在处可导，则 思路： 在处可导，必连续 ∴ ∴ Exercise：已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限： 　　1）； （2） 解1） 　　 　　2） 　　 例2. 已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是_____________. ∵P（2，4）在y=x3+上， 又y′=x2，∴斜率k=22=4. ∴所求直线方程为y－4=4（x－2），4x－y－4=0. Exercise：设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A．2 B． C． D． 例3．过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( ) A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x Exercise：已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 考点3 导数的应用 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5.构造函数证明不等式. 例4． 求下列函数单调区间 （1） （2） （3） （4） 例5．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　） A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 Exercise：f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下 列关于函数g（）的叙述正确的是（ ） A．若a0,则函数g（）的图象关于原点对称. B．若a=－1，－2b0,则方程g（）=0有大于2的实根. C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根. D．若a≥1,b2,则方程g（）=0有三个实根. 例6． 设为三次函数，且图象关于原点对称，当时，的极小值为，求出函数的解析式. 例7．已知函数，其中为参数，且． （1）当时，判断函数是否有极值； （2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围； （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围． [解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值. （Ⅱ），令，得. 由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表： x 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此，函数在处取得极小值，且. 要使，必有，可得. 由于，故. ②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表： + 0 - 0 + 极大值 极小值 因此，函数处取得极小值，且 若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零. 综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为. （III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。 由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 或 由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即. 综上，解得或. 所以的取值范围是. 例8.设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间. [考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数的定义域为，且 （1）当时，函数在上单调递减， （2）当时，由解得 、随的变化情况如下表 — 0 + 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减. 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增. Exercise：已知的图象相切. （Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）； （Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围. 例9.设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间. 例10.已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值. 解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上, 故在上递增，在上递减， 因此在处取得极大值，所以 （Ⅱ） 由 得 解得 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）设 又 所以 由即得 所以 例11.（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点. （Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间； （Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围. （Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a