圆的切点弦方程的九种求法.doc

圆的切点弦方程的解法 一、预备知识： 1、在标准方程下过圆上一点的切线方程为： ； 在一般方程 （） 下过圆上一点的切线方程为： 。 2、两相交圆 （）与 （） 的公共弦所在的直线方程为： 。 3、过圆 （）外一点作圆的切线，其切线长公式为：。 4、过圆 （）外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：（在圆的标准方程下的形式）； （在圆的一般方程下的形式）。 二、题目 已知圆外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。 三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为： 即 由 消去并整理得 ① 令 ② 解②得 或 将或分别代入①解得 、 从而可得 A(,)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB的方程为：。 解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为： 即 由圆心C(1,2)到切线的距离等于圆的半径3，得 ③ 解③得 或 所以切线PA、PB的方程分别为：和 从而可得切点 A(,)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB的方程为：。 解法三：用夹角公式求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为，根据已知条件可得 |PC|= ，， 在中，|PA|=5， 由夹角公式，得 ④ 解④得 或 所以切线PA、PB的方程分别为：和 从而可得切点 A(,)、B(1,-1)， 再根据两点式方程得直线AB的方程为：。 解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点 如图示1，根据已知条件可得 |PC|= ，， 在中，|PA|=5，AHPC，从而可得 由定比分点公式，得 H(,) 又因为 再根据点斜式方程得直线AB的方程为：。 解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一 如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经过以P为圆心|PA|为半径的圆C`与圆的交点的直线，由切线长公式得 |PA|= 所以圆C`的方程为 根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 即 直线AB的方程为：。 解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二 如图示3，因为PACA，PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为 即 根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 即 直线AB的方程为：。 解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义 设切点A、B的坐标分别为、，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为 和 因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得 ⑤ 由式⑤知，直线 经过两点A、B， 所以，直线AB的方程为：。 解法八：直接运用圆的切点弦方程 因为P（-4，-1）是圆外一点，根据切点弦所在直线的方程 得 整理得，直线AB的方程为：。 解法九：运用参数方程的有关知识 如图4，将圆的普通方程 化为参数方程： （其中为参数） 设切点A的坐标为（，），由PACA得 化简，整理得 ⑥ 又因为 可设直线AB的方程为，将点A（，）代入并整理，得 ⑦ 由式⑥和⑦知，，从而得 所以，直线AB的方程为： 1