杨辉三角与二项式系数.ppt

（3）各二项式系数的和 * * 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 这个公式表示的定理叫做___________,公式右边的多项式 叫做(a+b)n的 ,其中 (r=0,1,2,……,n)叫 做 ， 叫做二项展开式的通项,用Tr+1 表示,该项是指展开式的第 项,展开式共有 个项. 二项展开式 二项式系数 r+1 n+1 二项式定理： （r=0,1,2,……,n） 二项式定理 课前复习 (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 观察并找出规律 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角：表中“1”以外的每一 个数都等于它肩上的两个数之和 (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2 (a+b)6 二项式系数的性质 二项式系数的函数观点 展开式的二项式系数依次是: 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是: 当n=6时,其图象是7个孤立点 定义域{0,1,2, … ,n} （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 图象的对称轴: 二项式系数的性质 2、若（a+b)n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等, 练一练 1、在(a＋b)６展开式中,与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 则 n=______ B 6 问题:一般地,当r满足什么范围时,后一项Cnr比前一项Cnr-1要大? 分析:以上问题即为：当CnrCnr-1时,求r的范围? （2）增减性与最大值 由于： 当 时二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.那么,如何确定中间项呢? 二项式系数的性质 所以 相对于 的增减情况由 决定． f(r) r n O 6 15 20 1 20 10 30 35 O n n为奇数 f(r) 当n是偶数时,中间的一项 取得最大值; 当n是奇数时,中间的两项 和 相等,且同时取得最大值. n为偶数 (2) 增减性与最大值 二项式系数的性质 增减性：① 当 时 逐渐增大； ② 当 时 逐渐减小。 最大值：中间项的二项式系数最大 ① n为偶数时，中间一项 的二项式系数 最大 ② n为奇数时，中间两项 和 的二项式系数 和 最大 3. 在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ； 4. 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 . 练一练 , 例1、求 的展开式中二项式系数最大的项 典例探究 在二项式定理中，令 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 二项式系数的性质 赋值法 则 例2、证明:在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和. 【分析】即证 ＝２n-1 证明:（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+ … + Cnran-rbr+…+Cnnbn 令a=1,b=-1得 赋值法 典例探究 典例探究 例3.在二项式（2x-3y)9的展开式中，求： （1）二项式系数之和；（2）各项系数之和； （3）所有偶数项系数之和； （4）所有项系数绝对值之和。