极限与连续4.ppt

《微积分》A 教学内容和基本要求： 理解函数概念、复合函数和反函数的概念，掌握基本函 数的性质和图形，会建立简单实际问题中的函数关系式， 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 理解极限的概念、性质，掌握极限四则运算法则，了解 两个极限存在的准则会用两个重要极限求极限；了解无穷 小、无穷大及无穷小的阶的概念，并会用无穷小求极限。 理解函数的连续性的概念，了解间断点的概念，并会判 断间断点类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数 的性质。 学 习 重 点 拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统地建立了动力学基础,创立了“分析力学”. 牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无穷小的方法. 的理论称为“无穷小量分析”. 常常把整个变量 欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以《无穷小分析引论》. 即所谓无穷小量. 都可以转化为一种简单而重 要的变量, 微积分的历史表明, 较复杂的变量, 很多变化状态比 如果函数 f (x) 在某个极限过程中的极限为零， 那么就 称 f (x)是此极限过程的无穷小（量） 无穷小与自变量的变化过程有关。 一、无穷小 无穷小是以零为极限的变量（函数） 不是绝对值很小的数。 1. 定义: 无穷小的精确定义的叙述 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的. “无限制变小的量” 证 定理1 恒有 也即 2.关于无穷小的定理 于是 恒有 即 定理1 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无 穷小. 证 由归纳原理知，定理成立。 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 解 　　无穷大也有数列形式和函数形式两种; 而函数形式按 自变量趋向分又有6种. 二、无穷大 铅直渐近线 证 例２ 无穷大举例 定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零 　　　的无穷小的倒数为无穷大. 评注： 三、无穷小和无穷大之间的关系 例３ 解 无穷小和无穷大的定义 无穷小(大)是变量,不能与很小(大)的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小 无界变量未必是无穷大. 关于无穷小定理 无穷小和无穷大之间的关系