泰勒级数课件.ppt

复数项级数: ① 2. 欧拉公式 设 , 则 定义: 复变量的指数函数记为 易证上式右边的级数在整个坐标平面上收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 的幂级数展式一致. 当 x = 0 时, （欧拉公式） 3、微分方程的幂级数解法 例15 解: 根据初始条件, 设所求特解为 代入原方程, 得 比较同次幂系数, 得 故所求解的幂级数前几项为 2、二阶齐次线性微分方程 定理. 则在－R x R 内方程②必有幂级数解: ② 设 P(x), Q(x)在(－R, R )内可展成 x 的幂级数, (证明略) 此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用, 很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的. 解 例16 原方程的通解 作业 P388 1(3)(5)(6)(10) 2(2)(3) 3. 4(1)(3)(6) 5(2) 1. 利用幂级数展开式, 求极限 解: 原式 = 第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成泰勒级数 泰勒级数 第十章 函数 三、函数展开成泰勒级数的应用 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 (?介于x与x0之间) . 则在该邻域内f (x) 的 带有拉格朗日余项的 n 阶泰勒 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 公式为 即 逐项求导任意次,得 则称 当 x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 是否在某个收敛区间上 , 其和函数为 f (x) ? 若函数 处具有任意阶导数, 为 f (x) 处的泰勒级数， 在点 定义 称 为 f (x) 处的泰勒系数. 在点 问题 : 可见 在x=0点任意可导, 定理 具有各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒 级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第二步 写出泰勒级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间内 是否为0. 步骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数而展开 第一步 求函数及其各阶导数在 处的值 ; 例1 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 例2 将 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 类似可推出: 例3 将函数 展开成 x 的幂级数,其中 m为任意非零常数. 解:易求出 于是得级数 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 则 为避免研究余项, 设此级数的和函数为 称为二项展开式 . 由此得 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理. 双阶乘 2. 间接展开法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例4 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成 , 得 例5 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 定义且连续, 利用此题可得 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的. 例6 解 例7 解 例8 将 展成 解: 的幂级数. 例9 解 例10 将 展成 x－1 的幂级数. 解: 三、函数展开成泰勒级数的应用 问题: 给出精度, 定项数. 关健: 通过估计余项,确定项数. 1. 近似计算 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例11 解 余和: 例12 计算 的近似值, 精确到 解: 例13 计算 的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令 得 于是有 在上述展开式中取前四项, 计算定积分 解法 逐项积分 展开成幂级数 定积分的近似值 被积函数 ( 取 例14 计算积分 的近似值, 精确到 解: 则 n 应满足 则所求积分近似值为 欲使截断误差