第3章2随即过程.ppt

中国民用航空学院 设X(t)={X ( t , ? ), t ∈T }为一个随机过程， 若? 0 ? t ∈T ， X(t) ∈H . 则称X(t)={X( t , ? ), t ∈T }为二阶矩过程。 讨论： X(t)={X ( t , ? ), t ∈T }为二阶矩过程的 均方连续性； 均方可导； 均方积分。 3.4 二阶矩过程的均方连续 ?定义1 设X(t)={X ( t , ? ), t ∈T } 为二阶矩过程。若? t0 ? 0(∈T) 有 则称X(t)在t= t0处是均方连续(mean square continuous)的。 又若? t∈T ，X(t)在 t 处均方连续，则称X(t)于T上是均方连续的. 3.4 二阶矩过程的均方连续 ?定理1（均方连续准则） 设X(t)={X ( t , ? ), t ∈T } 为二阶矩过程。则X(t)在 t0 ∈T处连续的充要条件是： X(t)的相关函数 (r,t ∈T) 在(t0， t0)处是连续的. 3.4 二阶矩过程的均方连续 证明 必要性[X(t)在 t0∈T处连续? RX ( r,t )在(t0, t0)处是连续] X(t)在 t0∈T处连续? 所以RX( r,t )在(t0, t0)处是连续(r,t ∈T). 3.4 二阶矩过程的均方连续 证明 充分性[RX ( r,t )在(t0, t0)处是连续? X(t)在 t0∈T处连续] 所以X(t)={X ( t , ? ), t ∈T }在t0∈T处是连续 3.4 二阶矩过程的均方连续 ?定理2 二阶矩过程X(t)={X ( t , ? ), t ∈T } 于T上连续的充要条件是： 其相关函数R(r,t )(r,t ∈T)于{(t , t): t∈T}上，亦即于矩形T?T={(r,t) : r,t ∈T}的主对角线上是连续的. 3.4 二阶矩过程的均方连续 ?定理3 设X(t)={X ( t , ? ), t ∈T } 是均方连续， t0 ∈T ，则 表明：二阶矩过程是均方连续， 则其均值函数和方差函数也是均方连续。 1二阶矩过程的均方导数（可微）的定义 ?定义1 设X(t)={X ( t , ? ), t ∈T } 为二阶矩过程。 若 t ∈T , t+?t∈T 有 (a) 存在，则称二阶矩过程X(t)在t处是均方可微(mean square differentiable)的。式(a)的极限记作： 并称 为X(t)在 t 处均方，微商或均方导数。若X(t) ={X ( t , ? ), t ∈T }在 T上处处均方可微，则称X(t)于T上是均方可微的. 说明： 特别：若X′ (t) ={X′( t , ? ), t ∈T }存在， 且在t ∈T均方可微，则称X(t)在 t 处是二次可微的。记为 2 二元函数的广义二阶导数 ?定义2 设f(r, t)是定义在T?T 上的普通二元函数，在(r,t)处若重极限： 存在，则称该极限为二元函数f(r, t) 在(r,t)处的广义二阶导数或广义二阶微商。 ?引理1 设二元函数 f(r, t)关于 r 和 t 的一阶偏导数在(r, t )附近是存在的，且其二阶混合偏导数 于(r,t)处存在且连续，则二元函数f(r, t) 在(r,t)处的广义二阶导数存在，且等于 。 证明：令 则 由已知 f(r, t)关于 r 和 t 的一阶偏导数在(r, t )附近是存在的，所以?(r) 对r的导数存在，且 由微分中值定理可得 又由f(r, t) 的二阶混合偏导数 于(r, t)处存在且连续，因此对式 中的变量t再应用微分中值定理可得 由于 于(r, t)处连续， 因此有 所以f(r, t)在(r,t)处的广义二阶导数存在，且等于 即 3二阶矩过程的均方可微的存在定理 ?定理1：设X(t)={X ( t , ? ), t ∈T } 为二阶矩过程，则 X(t)于 t (∈T) 处可微的充要条件是： X(t)的相关函数 RX(r,t)在(t , t )处是广义二次可微的。 证明：由二阶矩过程的均方可微的定义: X(t)于 t ∈T 处可微 存在。 由随机变量均方收敛的柯西准则： 而 该式即为X(t)的相关函