第二讲电流与电路.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 电阻的三角形和星形连接的等效变换 最初的网络DABC 由 “D-Y 变换可化为图5所示网络,每条边的阻值为r/3。 再将经一次分割后的网络的周边D 变为 Y 形 , 得图 6 所示网络 , 继而对 D’, E’, F’ 组成的三角形进行 D 变为 Y 形 , 回到图 5网络。恰恰表明了标度变换下的不变性。 上述变换情况, 恰恰反映了这种分割在标度变换下的自相似性, 阻值的变化也应具有这样性质 , 即构成等比数列。 DABC 的电阻 RAB= 2r/3 经过一次分割后的电阻网络RAB1= 5r/9 则公比q=RAB1/RAB=5/6 所以： 经过第n次分割后的电阻网络中任两个顶点间的等效电 阻为： 二端分形网络的电阻 k, x是和s无关的常数, s是二端电阻网络指数. -1是三维导体的指数 对谢尔宾斯基分形网络: N次分割 k=? s=? 【思考题】无限旋转内接正方形金属网络由一种粗细一致、材料相同的金属丝构成，其中每个内接正方形的顶点都在外侧正方形四边中点上，已知最外侧正方形每边电阻值为R0，求： （1）A、C间等效电阻； （2）E、G两端的等效电阻。 【拓展题】 Thank you! * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 如图，每个电容值均为C，求AB间的电容值。 由倒数电容法，可得等效电阻电路，因为 【拓展题】如图所示, 电阻r=2W, C1=C2=10mF, C3=20mF, e1=e2=6V, e3=24V, 电源内阻为零. 求AB之间的电流和3个电容器极板上的电量. 设空间有N个点，其间用电阻为r的导线连接。如果两个点之间直接由一条导线相连，则称他们是相邻的。将所有相邻的点之间电阻测一遍，加起来，和为(N-1)r. 也就是说，任意两个相邻顶点之间的电阻是多少可以不知道，但其和是（N-1）r。 对称网络基本规律 第一类对称网络 所谓第一类对称网络，即对称性最好的电阻网络，所有相邻顶点之间的电阻都相同(总电阻)。对这种情况，只需数出棱数与顶点数，则相邻顶点的电阻值=(顶点数-1)r/棱数。 R=(4-1)r/6=1/2r R=(8-1)r/12=7/12r 正12面体 正20面体 第二类对称网络 所谓第二类对称网络，其对称性比第一类差一些，所有相邻顶点之间电阻有两种(总电阻)，则可以先用上述定理列出一方程，再将其中容易求的求出，则不容易求出的电阻带入第一个方程便可以得出。 这种例子非常多,如右图.当网孔数趋于无穷时AA’的电阻是容易求出的,而AB的电阻稍难一些。容易看出,AB电阻与A’B’电阻实际是一样的.则先求出AA’电阻。 【问题】 C60相邻顶点的电阻. 它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形。属于第二类对称网络 n维立方体的电阻 二维的立方体,即正方形, 三维立方体即通常的立方体. n维立方体为在一个n-1维立方体外(或旁边)再做一个n-1维立方体,并将对应顶点用线连接.右图便是一4维立方体. 三维立方体由二维立方体演化而来 四维立方体由三维立方体演化而来 由定义可以用数学归纳法证明: 其每条棱为电阻为r的导线,求其任意来两个顶点之间电阻. 对于相邻的两个顶点,其实就是第一类对称网络 3. 自相似法 在求无限网络的等效电阻时, 常常碰到电阻结构的相似性 , 即局部与整体相似 , 或在标度变换下的自相似性。 【例】电阻丝无限网络如图所示, 每一段金属丝的电阻均为 r, 试求A、B两点间的等效电阻 RAB 。 设想电流从A流入, 设想电流从B流入, 本图由于自相似, A就是B , B就是A. 中间金属丝中的电流发生了矛盾。 故这根无限长电阻丝中各点等势 . 故可这根电阻丝 . 又因网络相对A、B联线具有左右对称, 故可折叠成图 2所示, 此网络可视为A、 B之间 2r/3 电阻与图中虚线右侧的两端开路半无限网络并联而成 。 从虚线往右看, 两端开路半无限网络的电阻计为RAB‘ ，其结构和从CD两端往右看的两端开路半无限网络的结构具有相似性。因为是无限网络, 有 【例】用同种均匀金属丝连接成的无限内接等边三角形电阻网络如图所示, 每个外三角形的三边中点为内接三角形的三个顶点。设最外面的等边三角形的边长为a