第八章习题二答案.doc

第八章　习题二 空间解析几何 一．选择题 1．方程在空间解析几何中表示 （ D ） （A）椭圆柱面；　（B）椭圆曲线；　（C）两个平行面；　（D）两条平行线． 2．曲线在平面上的投影柱面的方程是 （　A　） （A）； （B）； （C）； （D）． 3．曲线 在平面上的投影的方程是　 　 　 （　C　） （A）；（B）；（C）；（D）． 4．直线与直线的关系是 （ C ） （A）垂直；　（B）相交但不垂直；　（C）平行；　（D）异面． 5．已知直线与直线垂直，则 （　D　） （A）；　　　（B）；　　　（C）3；　　　（D）5． 6．圆的中心坐标是 （ C ） （A）；　（B）；　（C）；　（D）． 7．设直线，平面，则（ C ） （A）平行于；　（B）在上；　（C）垂直于；　（D）与斜交． 二．填空题 1．将曲线绕轴旋转一周所生成的曲面的方程为． 2．将坐标面上的曲线分别绕轴、绕轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程分别为、 3．动点到两定点的距离之和为，则动点的轨迹方程为，表示的曲面是 旋转椭球面 ． 4．空间曲线在面上的投影曲线方程是． 5．点到平面的距离为． 6．过点且与直线垂直的平面方程是或． 7．直线上与点的距离最近的点为． 三．计算题 1．求平行于平面且过点的平面方程． 解：设所求平面方程为．因为该平面平行于面，；又因为该平面过点，．所以，所求平面方程为． 2．求通过轴和点的平面方程． 解：设所求平面方程为．因为该平面过轴，；又因为该平面过点，．所以，所求平面方程为． 3．求平行于轴且经过两点和的平面方程． 解：设所求平面方程为．因为该平面平行于轴，；又因为该平面过点和，，． 所以，所求平面方程为． 4．求过点，且在、、三个轴上截距相等的平面方程． 解：设所求平面方程为．因为该平面过点，所以有 ① 又因为该平面在、、三个轴上截距分别为、、，由截距相等可知，有．与①联立，可得． 所以，所求平面方程为． 5．求过点，且平行于向量和的平面方程． 解：取为所求平面的法向量，则所求平面方程为，即． 6．求过点，且垂直于两平面和的平面方程． 解：设所求平面方程为．因为该平面过点，；又因为该平面与和垂直，，可得，，从而．所以，所求平面方程为． 7．用对称式方程及参数方程表示直线 ． 解：可取直线的方向向量为； 将代入直线方程中，有，解的，得直线上的点． 故所求直线的对称式方程为；参数方程为． 8．求点在平面上的投影． 解：此投影点可看作过点且与平面垂直的直线与的交点． 过点且与平面垂直的直线的方程为，其参数方程为．将此参数方程代入平面的方程中，解得交点参数．将代入直线的参数方程，即得投影点的坐标． 9．求从原点到直线的垂线方程． 解：先求此垂线与直线的交点． 此交点可看成是过原点，并且与直线垂直的平面与直线的交点．将代入中，解得与的交点参数，从而得交点（即垂足）坐标为．故所求垂线（的两点式）方程为，即． 另解：此垂线可看作过原点，并且和直线垂直的平面，与过原点及直线的平面的交线． 同上可得； 过直线的平面束方程为 ，即． 将原点坐标代入平面束方程，有，解得．故有 ，即． 所求垂线方程为． 10．求直线在平面上的投影直线的方程． 解：过直线的平面束方程为 ， 即　　　　　　　　． 由平面束中与平面垂直的平面满足，解得，故，即． 所求投影直线的方程为． 11．求过点，并且平行于平面，又与直线相交的直线方程． 解：此直线可看做是过点及直线的平面，与过点且平行于平面的平面的交线． 过直线的平面束方程为，即 ． 将点的坐标代入其中，有，解得，得 ，即； 易知，　　　，即． 故所求直线方程为． 另解：先求过点及直线的平面．同上，解得 ，即； 由于所求直线平行于平面与，故可取其方向向量为；再由所求直线过点，即得所求直线方程为． *四．证明题 试证：直线与直线相交，并且过这两条直线的平面方程． 证及解：因为直线过定点，方向向量；直线过定点，方向向量．与相交向量、、共面 、、的混合积．而，这两条直线相交．证毕． 　　点与的平面向量、、共面 、、的混合积．而，故过这两条直线的平面方程为． 《高等数学Ｉ》Ａ班习题 班级___________　姓名___________　学号____________ 1