第六章整式乘法和公式.doc

第六章 整式乘除 【要点提示】 知识点1 同底数幂的乘法法则 am·an=am+n(m，n都是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 知识点2 幂的乘方 (am)n=amn(m，n都是正整数). 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【说明】 （1）幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的. （2）(am)n与的a区别. 其中，(am)n表示n个am相乘，而a表示mn个a相乘，例如：(52)3=52×3=56，5=58.因此，(am)n≠a，要仔细区别. 知识点3 积的乘方 (ab)n=anbn(n为正整数). 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 知识点4 单项式的乘法法则 单项式乘法是指单项式乘以单项式. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算.如 x2y·4xy2=(×4)·x2+1y1+2=2x3y3. 在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用所学的知识. 【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减. (2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误. 知识点5 单项式与多项式相乘的乘法法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a(m+n+p)=am+an+ap. 【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. (2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘. 知识点6 多项式相乘的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 【说明】 多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想. (a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn. 计算时首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算. 乘法公式 知识点1 平方差公式及其导出 平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2. 这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差. 认识公式的特征至关重要. 平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差. 知识点2 完全平方公式及其推导 点拨 两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍. 一般地，我们有： (a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2. 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 例如：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9， (3m-4)2=(3m)2-2·3m·4+42=9m2-24m+16. 在记忆公式(a±b)2=a2±2ab+b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)2=x2-2·x·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2. 说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导： (a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b2= a2+2ab+b2. 同时，也可以用观察情境来推导，如图15－17所示. 由图(1)可知，(a+b)2=a2+2ab+b2， 由图(2)可知，(a-b)2=a2-2ab+b2. 知识点3 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 【说明】 添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验. 知识点4 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 【典型例题】 【例1】（同底数幂的乘法） 计算：(1)103×104； （2）a·a3； （3）(m+n)2·(m+n)3. 【练习】计算：⑴； ⑵a·a3·a5； （3）105×102。 【例2】（幂的乘方） 计算：（1） (103)5； （2）(b3)4； （3）(-4)3·(-)3； （4）(2b)3； （5） (2a3)2。 【练习】计算：（1）；（2）；（3）；（4）。 【例3】