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群论在固体物理中的运用(讲稿)p75-119_讲稿
第二章 群表示理论
复习:
确立群{…,R,…,S,…}的一个表示:
选取一组基函数(函数空间,表示空间)
{,,…}
有 (2.4-8)
即
特征标 和 特征标系
可约、不可约表示
D3群的不可约表示只有3个:
DA1:E=(1), A=(1), B=(1), C=(1), D=(1), F=(1)
DA2:E=(1),A=(-1),B=(-1),C=(-1),D=(1), F=(1)
DE:
特征标系:(1)1, 1,1, 1, 1,1
(2)1,-1,-1,-1, 1,1
(3)2, 0,0, 0,-1,-1
可约、不可约表示的判断:
舒尔引理(可约的原则性判据)
不可约表示的判据:
(2.6-9)
可约表示的约化:
(2.6-6)
讨论:表示的矩阵与特征标,各有所长。
问题:已知表示矩阵,如何确定基函数?
一个群有几个不可约表示?各几维?
一个群的特征标表的构造(确定)?
D3群
特征标系:(1)1, 1,1, 1, 1,1
(2)1,-1,-1,-1, 1,1
(3)2, 0,0, 0,-1,-1
§2.7 投影算符
已知群的表示矩阵,确定表示的基函数。
基函数的充要条件是
(2.5-1)
或更一般的(2.5-3):
(2.7-1)
改记作
(1)定义投影算符
(2.7-2)
则 (2.7-3)
特殊的
投影算符的类比:并矢()
首先:
例如:
(例1,p78)D3群的不可约表示DE=D3
,
,
其中、是这个不可约表示的基函数。
这就是
其次:
定义第j个不可约表示的基
(2.7-5)
投影算符作用其上
例如
再其次:
任意函数可由各不可约表示的基函数展开
(2.7-7)
投影算符作用其上
(2.7-8)
例如
(的常数倍或零)
(的常数倍或零)
(2)准投影算符
复习投影算符
(2.7-2)
(2.7-3)
定义准投影算符(对角投影算符)
(2.7-9)
(2.7-10)
刚才例子中的 .
(3)定义特征标投影算符
(2.7-11)
作用于基函数
即 (2.7-12)
特征标投影算符作用于任意函数
(2.7-13)
例1:D3群的不可约表示DE
利用投影算符找出表示DE的基函数。
解:写出投影算符
现在寻找三角函数形式的基函数,取一个任意函数
预计 ,
具体计算
取为
相应地,取为
另外,只要知道一个基函数,就可以找到全部的基函数。例如,已知,则
作用到上,可以得到,即
作业15:对于D3群的不可约表示
取任意函数,利用投影算符找出该表示的基函数。
刚才的
问题:已知表示矩阵,如何确定基函数?
一个群有几个不可约表示?各几维?
一个群的特征标表的构造(确定)?
§2.8 群元空间
定义:用一个群G={E,A,B,…,R,…}的各个群元作为基矢,定义加法、数乘和内积,建立一个g维矢量空间,称为群元空间。
定义加法:
基矢为群元、等,加法写为+.
定义数乘:
2,5+3,等.
群元空间中的一般矢量 .
定义内积:
基矢正交归一 (,)=δRS.
表示矢量
群元空间(g维)中存在一组正交归一的矢量(表示矩阵元的正交性定理(2.3-1))
(2.8-4)
例如:D3群有3个不可约表示
D1:E=(1), A=(1), B=(1), C=(1), D=(1), F=(1)
D2:E=(1),A=(-1),B=(-1),C=(-1),D=(1), F=(1)
D3:
共可写出6个表示矢量
V(111)=(E+A+B+C+D+F)
V(211)=(E –A –B–C+D+F)
V(311)=(E+ABCDF)
V(312)、
V(321)、
V(322) .
正交归一的表示矢量
的个数为:
则 (2.8-6)
类空间
定义类空间的基矢类矢量
(2.8-7)
例如:D3群有3个类,即c=3,可以写出3个类矢量
C1=E, C2=(D+F), C3=(A+B+C)
构成3维的类空间。
可证类矢量是正交归一的:
对于同一个类矢量
对于不同的类矢量
即 (2.8-9)
类空间的矢量称为特征标矢量
(2.8-10)
一个不可约表示对应一个特征标矢量,这些特征标矢量是正交归一的。
设群G共有r个不可约表示,由于类空间中正交归一的特征标矢量有r个,不能大于类空间的维数c(群的类数),故
例如:
(1)D3={E,A,B,C,D,F},g=6,c=3
所以,不
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