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2013矩阵论复习题 设是正实数集,对于任意的,定义与的和为 对于任意的数,定义与的数乘为 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的,,定义与的和为 对于任意的数,定义与的数乘为 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设，试证明是的子空间，并求的一组基和. 4.设表示次数不超过的全体多项式构成的线性空间, 证明是的子空间,并写出的一组基和计算. 5. 设是上的线性变换,对于基向量和有 1)确定在基下的矩阵; 2)若 ,确定在基下的矩阵. 6. 设是上的线性变换,对于基有 1)确定在基下的矩阵; 2)求的零空间和像空间的维数. 7.在线性空间中 讨论的线性相关性. 8.在中求由基(I) 到基(II) 的过渡矩阵. 9.已知 设, 求线性空间的维数和基. 10.在中, 对任意的定义内积为 若取的一组基,试用正交化方法,求的一组标准正交基. 11. 在中，内积定义为： （1）如果 ，计算； （2）证明：任一线性多项式，都正交于. 12.设是上的阶方阵,是上的维列向量,证明：. 13.设,并且满足,计算和. 14. 设 ，求的秩分解. 15.已知，求的最大秩分解。 16. 求矩阵的奇异值分解. 17.设，1）证明：; 2) 证明：是半正定矩阵或正定矩阵。 18.求下列矩阵的谱阵和谱分解 19.设是阶单纯矩阵的重数为的特征值, 是的对应于的谱阵,证明 1) 2) 20.设函数矩阵, 求, 和. 21.证明 1) 2) 22.已知, , 求 23.设是的一种矩阵范数,和是阶可逆矩阵,且 ,证明对任意的，也是的一种矩阵范数. 24. 已知是上的矩阵范数，是中的某非零列向量，设证明它是上的向量范数，并且与矩阵范数相容。 25.设, 和是酉矩阵, 证明: 26.设，为正整数，证明：. 27.设，且是Hermite 矩阵，证明：. 28.已知, 其中且, 证明:. 29.已知 , 1)证明是矩阵; 2)求方阵函数. 30.已知， 1)求的标准形; 2)求可逆矩阵, 使. 31.已知，求. 32.求矩阵的最小多项式. 33.已知，判断矩阵级数是否收敛. 34.已知, 求和. 35.设为阶方阵,求证特别地当为反对称矩阵时有 36.设, 求方阵函数和. 37.证明:线性方程组(其中 )有解的充分必要条件是 38.已知(1), (2),求的广义逆矩阵. 39.设是的最大秩分解, 证明: 40.求微分方程组 的通解及满足初始条件的特解.